今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００４年第４問を取り上げ、解説します。
JJMOの予選がなかったころの問題で、前半の問題は実質的には予選の問題のようなものです。
「正の」というのは０より大きいということで、３ｍは３×ｍ、（ｎ－７）ｍは（ｎ－７）×ｍということです。
ｎ＝３ｍ－１を２番目の式に代入すると、
（３ｍ－１－７）ｍ＝１６
３ｍ2－８m－１６＝０
（３ｍ＋４）（ｍ－４）＝０
ｍ＞０だから、ｍ＝４となり、ｎ＝３×４－１＝１１となります。
２次方程式を習っていれば、上のようにすることができますが、小学生の場合は厳しいでしょう。
よく考えてみると、上の解法では整数という条件を全く使っていません。
整数という条件を使うと、小学生でも簡単に解けます。
（ｎ－７）×ｍ＝１６だから、ｎ－７とｍは１６の（正の）約数の「ペア」となります。
１６の約数を書き出すと、
１ ２ ４
１６ ８
となります。
これをすべてチェックしても答えを出せますが、ちょっとだけ頭を使います。。
ｎ＝３×ｍ－１だから、ｎは３で割ると２余る数です。
３で割ると２余る数から３で割ると１余る数を引いた数であるｎ－７は、３で割ると１余る数となります。
また、１６は３で割ると１余る数だから、ｍは３で割ると１余る数となります（面積図をイメージすればわかることです（東京大学２００７年前期文科数学第３問や神戸大学２０１９年前期理系数学第４問・文系数学第２問を解いてみるとよいでしょう））。
結局、ｍとして考えられるのは１、４、１６となります。
ｍ＝１のとき、ｎ＝３×１－１＝２となり、７を引くことができませんね（負の数となってしまいますね）。
ｍ＝４のとき、ｎ＝３×４－１＝１１となり、ｎ－７＝１１－７＝４となり、すべての条件を満たしますね。
ｍ＝１６のとき、ｎ＝３×１６－１＝４７となり、ｎ－７＝４７－７＝４０となり、２番目の式を満たしませんね。
したがって、ｎ＝１１となります。
なお、ｎ－７≦１６だから、ｎ≦２３となります。
このことをあらかじめチェックしておけば、ｍ＝１６のときに条件を満たさないことがすぐにわかるでしょう。
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