今回は、日本数学オリンピック２００９年予選第１問を取り上げて解説します。
「正の」というのは０より大きいということです。
ｎ2はｎ×ｎということで、４ｎは４×ｎということです。
絶対値は、小学生の場合無視して考えればいいでしょう。
要するに、〇が整数のときに、〇×〇＋４×〇が１００００に最も近くなるようにしなさいということで、中学入試に出されても、多くの受験生が簡単に解けるでしょうね。
説明の便宜上、ｎ2＋４ｎをＮとします。
まず、平方数（ｎ2）に着目して大雑把に見当を付けます。
１００×１００＝１００００がすぐに思いつきますね。
ｎ＝１００のとき、Ｎ＝１００×１００＋４×１００＝１０４００となります。
ｎの値を減らすと、Ｎの値は減るから、nの値を減らして１００００に最も近くなるものを考えます。
ｎ＝９９のとき、Ｎ＝９９×９９＋４×９９＝９９×１００＋９９×３＝９９００＋２９７＝１０１９７
ｎ＝９８のとき、Ｎ＝９８×９８＋４×９８＝９８×１００＋９８×２＝９８００＋１９６＝９９９６
したがって、答えは９９９６となります。
なお、上の計算では、分配法則を利用して計算の簡略化を図っています。
中学生以上であれば、ｎ2＋４ｎ＝ｎ（ｎ＋４）として、ｎとｎ＋４の平均（ｎ＋２）が１００と考えて、（１００－２）×（１００＋２）＝１００×１００－２×２（和と差の積＝２乗の差の利用）＝９９９６とすぐに求められないといけないでしょうし、小学生でもこういう計算ができる子もいるでしょうね。
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