今回は日本数学オリンピック(JMO）２０１２年予選第３問を取り上げ、解説します。
３つの数a×b×c、d×e×f、g×h×iをなるべく接近させるのがベストですね。
１から９までの整数の積は
１×２×３×４×５×６×７×８×９
＝３６２８８０
ですね。
３つの数をほぼ等しいと考え、立方数で見当を付けます。
１０×１０×１０＝１０００で、３６２８８０/１０００＝３６２．８８だから、７×７×７＝３４３がすぐに思い浮かびます。
７０×７０×７０＝３４３０００＜３６２８８０だから、３つの数がすべて７０以下となることは理論的にありえず、３つの数のうち少なくとも１つは７１以上となります。
７１は１から９までの整数３つの積で表すことができないから、３つの数が７１となることはありえません。
したがって、３つの数のうち少なくとも１つは７２以上となります。
実際、
９×８×１＝７２
３×４×６＝７２
２×５×７＝７０
とすれば、３つの数のうち少なくとも１つを７２とすることができるので、７２が答えとなります。
灘中学校２００２年算数１日目第３問の解法の出だしは上の解法とほぼ同じような感じなので、ぜひ解いてみましょう。
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