今回は日本数学オリンピック(JMO）２０２０年予選第４問を取り上げ、解説します。
算数オリンピックやジュニア算数オリンピックにチャレンジする子がファイナル対策で解くのにちょうどいい問題です。
計算の工夫で面倒な計算は回避できますが、中学入試に出されると時間面で若干厳しいかなという気がします。
ｎ2はｎ×ｎ、ｎ3はｎ×ｎ×ｎのことです。
まず、桁数を大雑把に把握します。
１０×１０＝１００（３桁）、１０×１０×１０＝１０００（４桁）の桁数の和は７で、ｎが１桁の数、３桁の数のときは論外であることがすぐにわかりますね。
ｎを増やしていったときに、ｎ2よりｎ3のほうが先に桁数が増え、２つの数の桁数の和が８となり、その後、ｎ2の桁数が増えて、２つの数の桁数の和が８を超えてしまうことがすぐにわかりますね。
２０×２０＝４００（３桁）、２０×２０×２０＝８０００（４桁）
２２×２２＝４×１２１＝４８４（３桁）、２２×２２×２２＝４８４×２０＋４８４×２＞１００００（５桁以上）
２１×２１＝４４１（３桁）、２１×２１×２１＝４４１×２０＋４４１×２＜１００００（５桁未満）
２つの数の桁数の和が８となるｎは２２以上の整数であることがわかりますね。
３０×３０＝９００（３桁）、３０×３０×３０＝２７０００（５桁）
３１×３１＝９６１（３桁）、３１×３１×３１（６桁にならないことは感覚的にわかりますし、３２×３２×３２＝１０２４×３２からもわかりますね）
３２×３２＝１０２４（４桁）、３２×３２×３２（５桁）
結局、２つの数の桁数の和が８となるｎは２２以上３１以下の整数であることがわかります。
あとは、調べつくすだけです。
ｎ＝２２のとき
２２×２２＝４８４で、４が２個あるから、条件を満たしません。
ｎ＝２３のとき
２３×２３の一の位が９となるから、条件を満たしません。
ｎ＝２４のとき
２４×２４＝４８４＋２２＋２３＋２３＋２４＝５７６
２４×２４×２４＝５７６×２０＋５７６×４＝１１５２０＋２３０４＝１３８２４
この場合はすべて条件を満たしますね。
ｎ＝２５のとき
２つの数の一の位がともに５となるので条件を満たしません。
ｎ＝２６のとき
２つの数の一の位がともに６となるので条件を満たしません。
ｎ＝２７のとき
２７×２７の一の位が９となるので、条件を満たしません。
ｎ＝２８のとき
２８×２８＝４×１９６＝８００－１６＝７８４
２８×２８×２８＝７８４×３０－７８４×２＝２３５２０－１５６８＝２１９５２で、２が２個あるから、条件を満たしません。
ｎ＝２９のとき
２９×２９×２９の一の位が９となるので、条件を満たしません。
ｎ＝３０のとき
３０×３０の一の位が０となるので、条件を満たしません。
ｎ＝３１のとき
２つの数の一の位がともに１となるので、条件を満たしません。
したがって、答えは２４だけとなります。
なお、上の解説では、平方数を利用した計算の工夫、分配法則を利用した計算の工夫を行っていますが、詳細については割愛します。
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