今回は、日本数学オリンピック２０１８年予選第４問を取り上げ、解説します。
近年灘中学校などでよく出されるタイプの問題で（灘中学校２０１９年算数１日目第４問、灘中学校２０１８年算数１日目第４問など）、最難関中学校の受験生であれば解けないといけないでしょう。
□△は□を△回かけあわせた数を表します。
１１１１2＝１２３４３２１（この計算については、筑波大学附属駒場高等学校２００５年数学第４問の解答・解説を参照）
１２３４３２１÷１１１１を計算して余りを求めてもいいですが、ここでは１２３４３２１からできるだけ１１１１の倍数を取り除いて余りを求めます。
１２３４３２１
－１１１１１
１２３２２
－ １１１１１
１２１１１
－ １１１１１
１０００
だから、１１１１2を１１１１１で割った余りは１０００となります。
ところで、１０００5＝１０００００００００００００００（０が１５個並ぶのがポイントです）から、１１１１１の倍数である９９９９９９９９９９９９９９９（９が１５個並ぶのがポイントです）を引くと１となるから、１０００5は１１１１１で割ると１余る数となります。
結局、１１１１10（１１１１を２×５＝１０個かけあわせた数）を１１１１１で割ると１余る数となるから、１１１１２００８を１１１１１で割ったときの余りは、１１１１８を１１１１１で割ったときの余り、つまり１０００４を１１１１１で割ったときの余りと一致します。
１０００２＝１００００００から、１１１１１の倍数である９９９９９０を引くと１０となるから、１０００２は１１１１１で割ると１０余る数となります。
したがって、１０００４を１１１１１で割ったときの余りは１０×１０＝１００を１１１１１で割ったときの余り、つまり１００となり、これが答えとなります。
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