今回は日本数学オリンピック(JMO）２０１１年予選第２問を取り上げます。
小学生でも普通に解ける問題です。
同じような問題がこの問題が出された２５年前（今から４０年弱前）に中学入試にも出されていますからね。
（参考問題）神戸女学院中学部１９８６年算数２日目第４問
連続した２７個の整数があって、そのうち偶数だけの和と奇数だけの和との差は４５です。これについて、次の問いに答えなさい。
（１）この整数のうちのいちばん小さい数はいくつですか。
（２）この２７個の整数の和はいくつですか。
（解説）
（１）
連続する整数の場合は偶数と奇数が交互に並ぶという当然のことを利用します。
連続する２整数（偶数と奇数）を２個ずつペアにして縦に並べてかきます。
合計２７（奇数）個だから、１個は仲間はずれ（半端）になりますね。
１番小さい数を求めるから、１番小さい数を仲間はずれにしておきます。
ペアは（２７－１）/２＝１３ありますね。
●（１番小さい数）
第１ペア □ ○ 差１
第２ペア □ ○ 差１
・・・・・・・・・・・・
第１３ペア □ ○ 差１
ペアの部分は、個数の多い方が個数の少ないほうより１×１３＝１３多いですね。●と１３の和が４５だから、
●＝４５－１３
＝３２
となります。
（２）
１番大きい数は
３２＋２６
＝５８
となります。
したがって、求める和は
（３２＋５８）×２７×１/２ （等差数列の和の公式を利用しました。）
＝４５×２７
＝１２１５
となります。
因みに、計算問題でも同じような問題（洛南高等学校附属中学校２０１５年算数第１問（５））が出されているので、ぜひ解いてみましょう。
さて、JMOの問題を解いてみましょう。
「正の」というのは０より大きいということです。
２０１１は各位の数の和が４だから、３で割ると１余る数ですね。
３で割ると１余る数は（２０１１＋２）/３＝６７１個あり、３で割ると２余る数は６７１－１＝６７０個あります。
１ ４ ・・・ ２００８ ２０１１
２ ５ ・・・ ２００９
差１ １ ・・・ １ ２０１１
２００９以下の整数までを考えると、３で割ると２余る数の総和の方が３で割ると１余る数の総和より１×６７０＝６７０多いですが、最後の２０１１で逆転されますね。
したがって、Ａ-Ｂは２０１１－６７０＝１３４１となります。
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