今回は日本数学オリンピック(JMO）２０２０年予選第７問を取り上げ、解説します。
算数オリンピックやジュニア算数オリンピックにチャレンジする子や最難関中学校の受験生はぜひ解いてみましょう。
２×１０１０＝２０２０（出題年ですね！）個のマスに数を並べるのだから、何らかの規則性があると考えられますね。
そこで、小さな数で考えます。
まず、縦２、横１のマス目の場合について考えます。
２×５＝１０通りあります（（図１）を参照）。
なお、あるマスの右隣のマスの数字についても同様に考えることができますね。
次に、縦２、横２のマス目の場合について考えます。
左から１列目が（図１）の１０通りの場合について、左から２列目が何通りあるか調べることになりますが、条件の対等性により、上と下の数字が入れ替わっても場合の数は同じだから、上の数のほうが小さい場合（５通りありますね）だけ調べます。
（図２）のようになりますが、いずれの場合も、２×２＝４通りのうち１通りだけ（１番左端から４－５、３－２、５－１、４－３、１－２）条件を満たさないから、条件を満たす場合は４－１＝３通りあります。
結局のところ、ある列の上下２個の数字の組み合わせがどのようなものであっても、右隣の列の上下２個の数字の組み合わせが３通りあることが分かるので、数の書き込み方は全部で１０×３1009通りあります。
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