今回は、日本数学オリンピック２０１６年予選第５問を取り上げ、解説します。
面積が等しいという条件があるときに、面積の差が０と読み替えて、面積の差を求める手法を利用するのは、中学入試問題を解く際によくあることです。
この問題は面積が等しいという条件はありませんが、合同な図形→面積が等しい→面積が０という発想ができれば、小学生でも容易に解くことができるでしょう。
なお、合同な図形という条件がなくても、自分で面積が等しい図形を見つけて、上の流れの発想をすることも可能な場合もあります（東海中学校２００８年算数第９問の（解答・解説）の（解法２）などを参照）。
この東海中学校の問題の場合、（解法２）で解くよりも（解法１）で解くほうが楽だと思いますが、最難関中学校の受験生であれば、（解法２）のような解法もマスターしておいてほしいと考えてあえてやっているわけです。
さて、ＪＭＯの問題を解いてみましょう。
若干図がかきにくいので、とりあえず適当な図をかいて、その後調整すればよいでしょう。
合同な三角形があるので、等しい辺の長さと等しい角の大きさをチェックします。
三角形ＡＢＣと三角形ＡＰＤは頂角が等しい二等辺三角形となり、相似（相似比はＡＢ：ＡＰ（ＡＤ）＝２０：１６＝５：４）となるから、面積比は（５×５）：（４×４）＝２５：１６となります。
三角形ＡＰＤの面積が２８だから、三角形ＡＢＣの面積は２８×２５/１６＝１７５/４となります。
図のようにそれぞれの部分の面積をア、イ、ウ、エ、オとします。
ウ＝２８、ア＋エ＝１７５/４ですね。
三角形ＡＢＰと三角形ＡＣＤが合同だから、
ア＋イ＝イ＋ウ＋オ
ア＝ウ＋オ （イを取り除きました。）
ア＋エ＝ウ＋オ＋エ （エをつけたしました。）
したがって、三角形ＢＣＰの面積（エ＋オ）は
１７５/４－２８
＝６３/４
となります。
若干答えが汚い数値になりましたね。
JMOの出題者なら、きれいな数値となるように当然コントロールできるはずですが、２０、１６、２８という数値を使いたかったのでしょうね。
この問題が出されたのが西暦２０１６年、言い換えれば平成２８年ですからね。
灘中が同じようなことを時々やっていますね（灘中学校２０１７年算数１日目第１問、灘中学校２０１９年算数１日目第１問など）。
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