今回は、日本数学オリンピック２０１３年予選第１問を取り上げ、解説します。
算数オリンピックやジュニア算数オリンピックにチャレンジする子はぜひ解いてみましょう。
試行錯誤系の問題を好んで出す中学校であれば、こういう問題が出されても何の不思議もないので、そういう中学校の受験生も解いてみるとよいでしょう。
「正の」というのは０より大きいということです。
ｘ≦ｙ≦ｚのときを考えればいいですね（ｘ≦ｙ≦ｚとしても一般性は失われません）。
少し実験してみればわかることですが、例えば２１０＋２１０＋２１００というようなもの（ｘ、ｙ、ｚの最大公約数が大きいもの）はｘ＋ｙ＋ｚが大きくなって駄目ですね。
最小公倍数が２１００という条件を満たす際に、なるべく無駄のない（素因数のダブりがない）３数、つまり互いに素な３数がよいことがわかります。
また、少し実験してみればわかることですが、例えば１＋１＋２１００よりも１＋３＋７００のほうがいいですし、１＋３＋７００よりも１＋２１＋１００のほうがいいので、なるべく接近した３数のほうがいいことが分かります。
そこで、２１００を素因数分解します。
その際、「九九の逆」を利用して素早く行います。
２１００
＝２１×１０×１０
＝３×７×２×５×２×５
＝２×２×３×５×５×７
２×２＝４、３、５×５＝２５、７をうまく組み合わせてなるべく接近した３数にすることを考えます。
７、３×４＝１２、２５とすればよく、ｘ＋ｙ＋ｚの最小値は７＋１２＋２５＝４４となります。
厳密には、４３以下とならないことを証明しないといけませんが、小学生であればこれでいいでしょう。
答えだけを求める問題ですし、調べる範囲が有限なので、調べつくしたと強弁してもいいでしょうしね。
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