日本数学ジュニアオリンピック（JJMO)２０１３年予選の問題
今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０１３年予選第１問を取り上げ解説します。
中学入試に出されても標準レベルと言える問題で、簡単に解ける受験生がかなりいるでしょう。
与えられた図形全体が点対称図形であることを見抜くことが第一歩です。
黄色の三角形と黄緑色の三角形は合同だから、黄色の三角形の面積を求めて２倍すればいいですね。
三角形ＡＰＲと三角形ＡＰＤは、底辺と高さが等しいから面積が等しくなり、それぞれの三角形の面積から共通部分の三角形ＡＰＳの面積を取り除いたもの、つまり、黄色の三角形と水色の三角形の面積は等しくなります。
三角形ＡＰＳと三角形ＲＳＤは相似（相似比はＡＰ：ＲＤ＝２：１）だから、ＳＡ：ＳＲ＝２：１となります。
三角形ＤＡＳと三角形ＤＳＲは高さが等しいから、面積の比は底辺の比２：１と一致します。
したがって、水色の三角形の面積は
１×４×１/２×２/（２＋１）
＝４/３
となり、求める面積は４/３×２＝８/３となります。
なお、平行四辺形ＡＰＣＲの面積を媒介として、四角形（平行四辺形）ＰＱＲＳの面積と長方形ＡＢＣＤの面積を比べて解くこともできます。
式だけ書いておくので、意味を考えてみましょう。
３×４×２/３×（１＋１）/（２＋１＋２＋１）
因みに、上の解説では利用しませんでしたが、三角形ＡＢＲの面積と三角形ＣＤＰの面積がともに長方形ＡＢＣＤの面積の半分であることから、長方形の内部において、この２つの三角形が重なった部分の面積（四角形ＰＱＲＳの面積）は重ならなかった部分の面積（三角形ＤＡＳの面積＋三角形ＢＣＱの面積）と等しくなります。
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