日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１２年予選の問題
今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０１２年予選第６問を取り上げ、解説します。
答えにルートが絡むので、小学生はこのままでは解けませんが、四角形ＡＩＧＨの面積が正八角形ＡＢＣＤＥＦＧＨの面積の何倍か求める問題にすれば、ほんの数秒で解けます。
同じような問題は、中学入試にも出されています（東海中学校２００８年算数第９問）。
さて、JJMOの問題を解いてみましょう。
正八角形の線対称性（線対称の軸を直線ＤＨと考えます）により、直線ＡＧとＢＦは平行となります。
等積変形により、三角形ＩＧＡと三角形ＯＧＡ（点Ｏは正八角形ＡＢＣＤＥＦＧＨの中心）の面積は等しくなり、四角形ＡＩＧＨの面積は四角形ＯＧＨＡの面積、つまり、三角形ＯＧＨの面積と三角形ＯＨＡの面積の和と等しくなります。
したがって、四角形ＡＩＧＨの面積は正八角形ＡＢＣＤＥＦＧＨの面積の２/８＝１/４倍となります。
なお、ルートを習っていれば、女子学院中学校２０２４年算数第６問の解説で用いた手法により、｛（１＋√２）×（１＋√２）－１×１｝/４＝（１＋√２）/２とすぐに求めることができます。
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