今回は、日本数学オリンピック２０１３年予選第２問を取り上げ、解説します。
中学入試に出されても何の不思議もない問題です。
上から〇（１以上２０以下の整数）番目、左から△（１以上１３以下の整数）番目の数は、前者の並べ方では、１３×（〇－１）＋△と表され、後者の並べ方では、２０×（１３－△）＋〇と表されます。
条件より、
１３×（〇－１）＋△＝２０×（１３－△）＋〇
１３×〇－１３＋△＝２０×１３－２０×△＋〇
１２×〇＋２１×△＝２１×１３ （上の式の両辺に１３と２０×△を足し、〇を引きました。）
４×〇＋７×△＝７×１３ （上の式を１/３倍しました。）
となります。
あとは芋づる算（条件不足のつるかめ算）を解くだけですね。
７×△、７×１３はともに７の倍数だから、４×〇も７の倍数となり、４と７の最大公約数は１だから、〇が７の倍数となります。
４×〇＋７×△＝７×１３
７ ９
↓＋７ ↓－４
１４ ５
↓＋７ ↓－４
２１ １
したがって、答えは、１３×（７－１）＋９＝８７と１３×（１４－１）＋５＝１７４となります。
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