日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１８年予選の問題
今回は、日本数学オリンピック２０１８年予選第５問を取り上げ、解説します。
中学入試に出されれる典型的な直角三角形の相似の問題で、中学受験生でも普通に解けるでしょう。
図をかくと次のようになります。
角度に記号をつけ、等しい辺の長さをチェックすると、同じ色をつけた直角三角形が合同で、黄色の直角三角形と黄緑色の直角三角形が相似（相似比は、ＰＱ：ＱＲ＝２：３）であることがすぐにわかりますね。
ＢＱ＝ＤＳ＝②とすると、ＣＲ＝ＡＰ＝③となります。
また、ＱＣ＝ＳＡ＝[３]とすると、ＲＤ＝ＰＢ＝[２]となります。
ＡＢ＝２２、ＢＣ＝２３だから、
③＋[２]＝２２
②＋[３]＝２３
となります。
２つの式の和を考え、それを２/５倍すると
②＋[２]＝１８
となり、この式と最初の２つの式との差を考えると、①＝４、[１]＝５となります。
結局、ＢＱ、ＰＢ、ＱＣ、ＣＲの長さはそれぞれ８、１０、１５、１２となるから、長方形ＡＢＣＤの面積は
２２×２３－（８×１０＋１５×１２）
＝５０６－２６０
＝２４６（出題者のセンスがいいと感じられる答えですね！）
となります。
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