日本数学オリンピック(JMO)2016年予選の問題

 

今回は日本数学オリンピック2016年予選第2問を取り上げ、解説します。

割り算の余りの周期性の問題で、中学入試にも出されるタイプの問題です。

20で割った余りは20個ごとに同じ繰り返しになり、16で割った余りは16個ごとに同じになるから、20で割った余りと16で割った余りは80(20と16の最小公倍数)個ごとに同じ繰り返しになります。
そこで、1から80までの80個の整数を調べつくします。

その際、余りの変わり目(20で割った余り(Aとします)と16で割った余り(Bとします)がそれぞれ0に戻るところ~20、40、60、80、16、32、48、64)に着目します。
1から16までは、AもBも同じ余りなので、調べるまでもありませんね。
17から19までは、Bのほうが小さい値に戻ってしまうので、調べるまでもありませんね。
20から80までを調べます。
 20 A=0、B=4

 ↓+1  ↓+1 ↓+1(調べる数字、A、Bで同じことをしているので、差一定ですね。)
 21 A=1、B=5
 ・・・・・・・・・・
 31 A=11、B=15(B=15と差一定から簡単に求められます(以下同様)。)
20から31までの12個の整数は条件を満たしますね。
 32 A=12、B=0
 ・・・・・・・・・・・
 39 A=19 B=7
32から39までは条件を満たしませんね。
 40 A=0、B=8
 ・・・・・・・・・・・
 47 A=7、B=15
40から47までの8個の整数は条件を満たしますね。
 48 A=8、B=0
 ・・・・・・・・・・・
 59 A=19、B=11
48から59までは条件を満たしませんね。
 60 A=0、B=12
 ・・・・・・・・・・・・
 63 A=3、B=15
60から63までの4個の整数は条件を満たしますね。
 64 A=4、B=0
 ・・・・・・・・・・・
 79 A=19、B=15
 80 A=0、B=0
64から80までは条件を満たしませんね。
結局、1から80までの80個の整数で条件を満たすものは、12+8+4=24個あります。
  2016÷80
 =25・・・16
で、半端の16個の中に条件を満たすものはないから、結局、条件を満たすものは
  24×25
 =600個
あります。

 

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