今回は日本数学オリンピック２０１６年予選第２問を取り上げ、解説します。
割り算の余りの周期性の問題で、中学入試にも出されるタイプの問題です。
２０で割った余りは２０個ごとに同じ繰り返しになり、１６で割った余りは１６個ごとに同じになるから、２０で割った余りと１６で割った余りは８０（２０と１６の最小公倍数）個ごとに同じ繰り返しになります。
そこで、１から８０までの８０個の整数を調べつくします。
その際、余りの変わり目（２０で割った余り（Ａとします）と１６で割った余り（Ｂとします）がそれぞれ０に戻るところ～２０、４０、６０、８０、１６、３２、４８、６４）に着目します。
１から１６までは、ＡもＢも同じ余りなので、調べるまでもありませんね。
１７から１９までは、Ｂのほうが小さい値に戻ってしまうので、調べるまでもありませんね。
２０から８０までを調べます。
２０ Ａ＝０、Ｂ＝４
↓＋１ ↓＋１ ↓＋１（調べる数字、A、Bで同じことをしているので、差一定ですね。）
２１ Ａ＝１、Ｂ＝５
・・・・・・・・・・
３１ Ａ＝１１、Ｂ＝１５（Ｂ＝１５と差一定から簡単に求められます（以下同様）。）
２０から３１までの１２個の整数は条件を満たしますね。
３２ Ａ＝１２、Ｂ＝０
・・・・・・・・・・・
３９ Ａ＝１９ Ｂ＝７
３２から３９までは条件を満たしませんね。
４０ Ａ＝０、Ｂ＝８
・・・・・・・・・・・
４７ Ａ＝７、Ｂ＝１５
４０から４７までの８個の整数は条件を満たしますね。
４８ Ａ＝８、Ｂ＝０
・・・・・・・・・・・
５９ Ａ＝１９、Ｂ＝１１
４８から５９までは条件を満たしませんね。
６０ Ａ＝０、Ｂ＝１２
・・・・・・・・・・・・
６３ Ａ＝３、Ｂ＝１５
６０から６３までの４個の整数は条件を満たしますね。
６４ Ａ＝４、Ｂ＝０
・・・・・・・・・・・
７９ Ａ＝１９、Ｂ＝１５
８０ Ａ＝０、Ｂ＝０
６４から８０までは条件を満たしませんね。
結局、１から８０までの８０個の整数で条件を満たすものは、１２＋８＋４＝２４個あります。
２０１６÷８０
＝２５・・・１６
で、半端の１６個の中に条件を満たすものはないから、結局、条件を満たすものは
２４×２５
＝６００個
あります。
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