今回は日本数学オリンピック２０１１年予選第３問を取り上げます。
「正の」というのは０より大きいということです。
それなりのレベルの中学校の受験生であれば素数の意味を知っているので、短時間で解けるでしょう。
灘中に合格した教え子が小学生の頃に、この問題をアレンジした次の灘中対策演習問題を出したことが何度かありますが、皆解けていました。
解法はJMOの問題の解法と同じで、最後の素数の確認に若干手間がかかるだけの話です（後半の問題はエラトステネスの篩で１００ぐらいまでの素数の確認をしたかったから出した問題です）。
相異なる１以上８以下の整数a、b、c、d、e、f、g、hを用いてa×b×c×d×e＋f×g×hと表せる素数があれば求めなさい。また、相異なる１以上９以下の整数a、b、c、d、e、f、g、h、iを用いてa×b×c×d×e×f＋g×h×iと表せる素数があれば求めなさい。
整数の個数を増やさなくても、次の（算数オリンピック対策問題）のようにもう少し難しくすることも可能です。
答えは１７９、７２７、１０１３となるので、ぜひ解いてみましょう。
（算数オリンピック対策問題）
１、２、３、４、５、６、７の７つの整数があります。このうちＡ君が４個か５個とり、残りをＢ君がとり、２人とも自分がとった数をそれぞれかけあわせました。その合計を計算したところ、その数は１とその数自身以外では割り切れませんでした。合計としてありうるものをすべて求めなさい。
さて、問題を解いてみましょう。
a×b×c×dをグループ（あ）、e×f×gをグループ（い）とします。
偶数（２、４、６）は同じグループにしないといけません。
さもないと、（あ）も（い）も偶数となり、a×b×c×d＋e×f×gは２より大きい偶数となり、素数となりえないからです。
また、３の倍数（３、６）も同じグループにしないといけません。
さもないと、（あ）も（い）も３の倍数となり、a×b×c×d＋e×f×gは３より大きい３の倍数となり、素数となりえないからです。
結局、２、４、６、３が同じグループとなるから、この４数がグループ（あ）となり、残りの３数（１、５、７）がグループ（い）となります。
したがって、a×b×c×d＋e×f×gとしてありうる数は、２×４×６×３＋１×５×７＝１４４＋３５＝１７９だけとなりますが、１３×１３＝１６９＜１７９＜１９６＝１４×１４で、１７９は１３以下のいずれの素数でも割り切れないから、１７９は素数となり、これが答えとなります。
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