今回は日本数学オリンピック２０２０年予選第１問を取り上げます。
中学入試にも同じような問題（灘中学校２０１９年算数２日目第１問）が出されています。
最難関中学校の受験生であれば解けないといけない問題でしょう。
「正の」というのは、０より大きいということです。
４桁の整数を２□２△（□と△は０以上９以下の整数）とします。
これは
２０２０＋□×１００＋△
＝２００２＋１４＋４＋□×９８＋□×２＋△
となります。
１００１＝７×１１×１３で７の倍数だから、２００２は７の倍数ですね。
１４と□×９８も７の倍数だから、結局、４＋□×２＋△が７の倍数となる条件、つまり、□×２＋△が７で割ると３余る条件を考えることになります。
□＝０、７のとき、□×２は７で割り切れるから、△は７で割ると３余る数、つまり３となります。
□＝１、８のとき、□×２は７で割ると２余るから、△は７で割ると１余る数、つまり１と８となります。
□＝２、９のとき、□×２は７で割ると４余るから、△は７で割ると６余る数、つまり６となります。
（□×２を７で割ったときの余りが３を超えるときは、１０を思い浮かべれば、△を７で割った余りがすぐに求められます（以下同様）。）
□＝３のとき、□×２は７で割ると６余るから、△は７で割ると４余る数、つまり４となります。
□＝４のとき、□×２は７で割ると１余るから、△は７で割ると２余る数、つまり２と９となります。
□＝５のとき、□×２は７で割ると３余るから、△は７で割り切れる数、つまり０と７となります。
□＝６のとき、□×２は７で割ると５余るから、△は７で割ると５余る数、つまり５となります。
したがって、求める個数は
２×１＋２×２＋２×１＋１×１＋１×２＋１×２＋１×１
＝１４個
となります。
算数オリンピック・ジュニア算数オリンピック・キッズＢＥＥ対策ならプロ家庭教師のＰＴへ
算数オリンピック・ジュニア算数オリンピック・キッズＢＥＥ対策のお申込み・ご相談
