今回は、日本数学オリンピック(JMO)２０２２年予選第４問を取り上げます。
算数オリンピックにチャレンジする子にぜひ解いてもらいたい問題です。
問題文に図がない図形問題は、従来、大学入試でよく出されていましたが、近年は、中学入試でも出されるようになっています（甲陽学院中学校２０２１年算数１日目第５問、甲陽学院中学校２０２３年算数１日目第５問（因みに、この問題は、算数オリンピック２００２年ファイナル第３問の図を消して、数値を変更した問題です）などを参照）。
図がない図形問題の場合、いきなり正確な図をかこうとするのではなく、とりあえず適当な図をかいて大雑把に様子を把握した後、それなりに正確な図をかくことが大切です。
日常の勉強の際、自分で図をかく子からしたら、それほど難しいことではないはずです。
さて、問題を解いてみましょう。
図をかくと次のようになります。
この問題の場合、辺の長さと角度がわかっているＡＤ、ＡＰのところからかき始めるとかきやすいでしょう。
図の〇をつけた角は、１８０から×を引いたものになるので、等しくなります。
三角形ＡＰＢと三角形ＡＤＣにおいて、角ＡＰＢ＝角ＡＤＣ、ＡＰ：ＡＤ＝ＰＢ：ＤＣ＝３：５（２辺の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい）だから、三角形ＡＰＢと三角形ＡＤＣは相似（相似比は、ＡＰ：ＡＤ＝３：５）となります。
ＡＣの長さは７×５/３＝３５/３となります。
また、★をつけた角は等しくなり、★＋☆が９０度となるから、三角形ＡＢＣは角Ａが直角の直角三角形となり、その面積は７×３５/３×１/２＝２４５/６となります。
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