今回は、日本数学オリンピック（JMO)２０１９年予選第３問を取り上げます。
算数オリンピックやジュニア算数オリンピックにチャレンジする子にはぜひ解いてもらいたい問題です。
灘中の２日目であれば出題されても何の不思議もない問題です。
例えば、真ん中の数が４の場合は何通りありますかなどという小問をつければ、それがヒントになりますしね。
それにしても、解説を文章でかくとかなり面倒ですね。
実際に解く時間は５～６分でしたが、図をかきながら、文章を打つのに４倍ぐらいの時間がかかりました。
黄色のマス（以下、Ａとします）は隣のマスが４個あり、黄緑色のマス（以下、Ｂとします）は隣のマスが３個あり、水色のマス（以下、Ｃとします）は隣のマスが２個ありますね。
条件の１番厳しいＡにどの数が入るかで場合分けして解きます。
数の対称性より、例えば、２と８は同様に扱うことができます。
（あ）１、９の場合
（い）２、８の場合
（う）３、７の場合
（え）４、６の場合
（お）５の場合
（あ）の場合
１の場合を考えます。
１との差が３以下の数が２、３、４の３個しかないので、この場合はありえません。
９の場合も同じですね。
（い）の場合
２の場合を考えます。
２との差が３以下の数は１、３、４、５となり、この４数をＢに入れることになりますが、１の隣のマスに入れる数がないから、この場合はありえません。
８の場合も同じですね。
（う）の場合
３の場合を考えます。
３との差が３以下の数は１、２、４、５、６となり、このうちの４数をＢに入れ、残りの１つの数をＣに入れることになります。
Ｃに９を入れることになりますが、３との差が３以下で、９との差が３以下の数は６の１つしかないので、３と９のマスの両方に隣り合うマス（図の緑色のマス）に入れる数がなく、この場合はありえません。
７の場合も同じですね。
（え）の場合
４の場合を考えます。
４との差が３以下の数は１、２、３、５、６、７となり、このうちの４数をＢに入れることになります。
８と９はＣに入れることになり、８と９が隣り合うことはありえません。
９との差が３の数で８以外のものは７、６の２個しかないので、９の隣のマスには７と６を入れることになります。
条件の対等性によりどちらに入れても状況は同じですね。
８との差が３の数で９以外のものは７、６、５の３個しかないので、８を９と最も離れた位置に置くことはできません。
そこで、図のＰ、Ｑの場合をチェックすることになりますが、８の隣のマスが５と確定します。
この時点でＱがありえないことが確定し（７との差が３以下の数が残っていないから）、Ｐにおいて、１が４の隣のマスであることが確定し、残りの２と３の位置も確定します。
この場合は、９をＣのどこに入れるかで４通りあり、そのそれぞれに対して、６と７をどのマスに入れるかで２通りあり、そのそれぞれに対して、残りのマスの数の入れ方は１通りあるから、全部で４×２×１＝８通りあります。
６の場合も同様に８通りあります。
（お）の場合
５との差が３以下の数は２、３、４、６、７、８となり、このうちの４数をＢに入れることになります。
１と９はＣに入れることになり、隣の隣のマスの数同士の差は最大でも６だから、１と９は最も離れた位置に入れることになります。
また、同様の理由で２、８をＣに入れることもできず、２は１の隣のマスに入れることになります（８は９の隣のマスに入れることになります）。
条件の対等性によりどちらに入れても状況は同じですね。
オレンジ色のマスには３か４を入れることになるので、図のＲ、Ｓの場合をチェックすることになります。
８をピンク色のマスに入れると、２とも８とも隣り合うＣのところに５を入れることになり、この場合はありえませんね。
結局、８の位置は図のように確定します。
Ｒの場合は、２の隣のマスが４と確定し、残りの６と７も確定します。
また、Ｓの場合は、２の隣のマスが３と確定し、残りの６と７も確定します。
この場合は、１をＣのどこ入れるかで４通りあり、そのそれぞれに対して、９の位置は１通りあり、そのそれぞれに対して、２をどのマスに入れるかで２通りあり、そのそれぞれに対して、オレンジ色のマスに３と４のどちらの数を入れるかで２通りあり、そのそれぞれに対して、残りのマスの数の入れ方は１通りあるから、全部で４×１×２×２×１＝１６通りあります。
（あ）～（お）より、数の入れ方は全部で８×２＋１６＝３２通りあります。
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