小学生でも解ける数学オリンピックの問題　日本数学オリンピック２０２１年予選第１問

２０２１年の日本数学オリンピック予選第１問は、小学生でも簡単に解けます。

互いに素な正の整数ｍ、ｎというのは、０より大きく、最大公約数が１である２整数ｍ、ｎということです。

縦、横の長さがそれぞれ□cm、〇cmの長方形があります。□も〇も整数で、その最大公約数は１です。また、この長方形の周りの長さは１８０cmです。この長方形の面積が最も大きくなるとき、その面積は何cm²ですか。

こういう表現にすれば完全に中学入試問題で、中学受験生なら簡単に解けるでしょう。

いったん互いに素という条件を無視して少し調べてみると・・・（数学を習っていれば、調べるまでもなく、機械的な作業で結論が得られます。）

１×８９＝８９、２×８８＝１７６、３×８７＝２６１、４×８６＝３４４、・・・というように、和一定の２数の積は、２数の値が接近するほど大きくなることが分かります。

積が大きくなるものを順に調べていきます。

４５×４５、４４×４６は互いに素という条件を満たしませんが、４３×４７は互いに素という条件を満たすので、４３×４７＝（４５－２）×（４５＋２）＝４５×４５－２×２＝２０２５－４＝２０２１が答えとなります。

次の中学入試問題もぜひ解いてみましょう。

数学オリンピックの問題と実質的には同じだと思いますよ。

なお、４３×４７の計算ですが、上の解説では「和と差の積＝２乗の差」（南山中学校女子部２０２４年算数第１問（４）の解説を参照）を利用しましたが、次の（参考）の知識を利用して暗算で求めることもできます。

（参考）〇△×〇□（△＋□＝１０）の計算について

〇×（〇＋１）の計算結果を百の位に配置し、△×□の計算結果を下２桁に配置すれば計算結果が得られます。

このことは面積図を利用すれば確認できます。

本問の適用例

４５×４５＝２０２５（２０２５年の受験生は覚えておくべきでしょう）　←４×（４＋１）＝２０を百の位に、５×５を下２桁に配置するだけです。

４３×４７＝２０２１　←４×（４＋１）＝２０を百の位に、３×７を下２桁に配置するだけです。