２０１９年のJMOの予選第５問は、中学入試にもよく出される倍数と余りの問題で、小学生でも解けます。
数学オリンピックの問題ではなく、ジュニア数学オリンピックの問題としても簡単な問題でしょう。
中学受験生なら、余り共通、不足共通、共通なし（バラバラ）の３パターンがあることはわかっているでしょう。
最難関中学校では、共通なしの問題で強引に余り共通や不足共通に持ち込むと楽になる問題が出されています。
実際、灘中学校などで２倍した数を考えれば、余り共通・不足共通に持ち込むことができる問題が出されています。
（灘中学校１９９３年算数１日目第７問）
ある本を読むのに、１日５ページずつ読むと４ページ残り、７ページずつ読むと５ページ残り、９ページずつ読むと６ページ残るという。この本は□ページである。ただし、この本は２００ページ以下とする。
因みに、この問題は神戸女学院中学部の頻出問題の１つ（神戸女学院中学部１９９５年算数１日目第１問、神戸女学院中学部２００５年算数第１問の（２）、神戸女学院中学部２０２４年算数第６問の（３）など）で、当方が作成した女学院対策演習問題に次のような問題があります。
７で割ると２余り、１３で割ると５余り、１９で割ると８余る数のうち、２番目に小さいものを求めなさい。
JMOの問題の方が数字が大きいですが、本質的なことは何も変わりません。
さて、JMOの問題を解いてみましょう。
「正の」というのは、小学生は無視して考えればいいでしょう。
９７で割ると３２余り、１００で割ると３３余り、１０３で割ると３４余る整数を〇とします。
〇×３は９７で割ると３２×３＝９６余り、１００で割ると３３×３＝９９余り、１０３で割ると３４×３＝１０２余るから、〇×３＋１は９７でも１００でも１０３でも割り切れる整数となります。
９７、１００、１０３の最大公約数は１だから、〇×３＋１は９７×１００×１０３の倍数となります。
〇×３＋１は３で割ると１余る数ですが、９７、１００、１０３はすべて３で割ると１余る数で、その積は３で割ると１余る数となります。
したがって、〇×３＋１の最小のものは
９７×１００×１０３
＝（１００＋３）×（１００－３）×１００ （和と差の積＝２乗の差の利用）
＝（１００００－９）×１００
＝９９９１００
となり、答えは
（９９９１００－１）/３
＝３３３０３３
となります。
今回取り上げた灘中の入試問題、女学院対策演習問題、JMOの問題の割る数と余りを並べてみると何か気付くことがあるのではないでしょうか？
（灘中の入試問題）
５ ４
７ ５
９ ６
（女学院対策演習問題）
７ ２
１３ ５
１９ ８
（JMOの問題）
９７ ３２
１００ ３３
１０３ ３４
なお、和と差の積が２乗の差となることについては、下の問題の解説を参照しましょう。
南山中学校女子部２０２４年算数第１問（４）（和と差の積＝２乗の差の利用）
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