２０２３年のJMOの予選第１問は、小学生でも簡単に解けます。
実際、灘中に受かった教え子は全員この問題を解くのに１分もかかりませんでした。
まず、かけ算の条件について考えます。
１０＝２×５だから、１０を掛けて平方数となるためには、１０×□×□（□＝１、２、３、・・・）と表される数であることが必要です。
次に、足し算の条件について考えます。
□＝１のとき、１０×１×１＋１０＝２０×
□＝２のとき、１０×２×２＋１０＝５０×
□＝３のとき、１０×３×３＋１０＝１００〇
したがって、答えは９０となります。
なお、１０×□×□＋１０＝１０×（□×□＋１）が平方数となるためには、□×□＋１が平方数の１０倍（当然１０の倍数ですね）となり、□×□の一の位が９となり、□の一の位が３か７となることが必要です。
このことに着目すれば、まず□＝３を調べることになり、正解にたどり着きます。
この程度の問題でここまで考える必要はないと思いますが。
