日本ジュニア数学オリンピック(JJMO)2022年予選の問題

 

今回は、JJMO2022年予選第1問を取り上げます。

場合の数の問題ですが、条件の対等性を利用すれば簡単に答えが求められます。

説明の便宜上、2×2のマス目に次のような記号をつけます。

 □☆
 〇△
□はA、B、Cの3通りあります。
いずれの場合も条件的に同じだから、Aを入れた場合を考え、3倍すればいいですね。
次に、△について考えます。
△は、A、B、Cのいずれかですが、B、Cの場合は条件的に同じだから、AとBの場合を考え、Bの場合については2倍すればいいですね。
(あ)△にAを入れる場合
☆も〇もA以外の2通りずつあるから、この場合は2×2=4通りあります。
(い)△にBを入れる場合
☆も〇もA、B以外、つまりCになるから、この場合は1通りあります。
したがって、文字の書き込み方は全部で(4+1×2)×3=18通りあります。

過去に紹介した南山中学校女子部2024年算数第7問京都大学2020年理系数学第5問・文系数学第5問が同種の問題なのでぜひ解いてみましょう。

上の解法は応用性が高いですが、応用性の高い別解があります。

洛南高校附属中学校2024年算数第5問の解答・解説を参照しましょう(この洛南の問題の(1)が今回取り上げたジュニア数学オリンピックの問題と同じ問題です)。

洛南の問題は、今回の解法で解いていませんが、(2)、(3)を解くことを視野に入れた場合、(1)を今回の解法で解くのは愚かしいからです。