１３３５＋１１０５＋８４５＋２７５＝ｎ５を満たす整数ｎが存在することを前提として、ｎの値を求めなさい。
（ｎ５はｎを５個かけあわせた数（ｎの５乗）です（他も同様））。
オイラー予想の有名な反例を求める問題です。
小学生でも求められます。
まず、範囲をしぼります。
ｎ５＞１３３５だから、ｎ＞１３３となります（下限チェック）。
ｎ５＜１３３５×４で、（３/２）５＝２４３/３２＞１２８/３２＝４だから、
ｎ５＜１３３５×（３/２）５＝（３９９/２）５＜２００５
となり、ｎ＜２００となります（上限チェック）。
ｎは３桁の整数で、百の位の数が１となりますね。
次に、一の位チェックを行います（一の位チェックの練習として京都大学１９９６年後期理系数学第２問を解いてみるとよいでしょう）。
（一の位が３の数を順にかけていったときの一の位）３、９、７、１の繰り返し
（一の位が０の数を順にかけていったときの一の位）０の繰り返し
（一の位が４の数を順にかけていったときの一の位）４、６の繰り返し
（一の位が７の数を順にかけていったときの一の位）７、９、３、１の繰り返し
だから、
ｎ５の一の位の数は３＋０＋４＋７＝１４の一の位の数の４となり、ｎは偶数となります。 偶数の一の位チェックを行います。 すでにチェックした０と４以外の数で行います。
（一の位が２の数を順にかけていったときの一の位）２、４、８、６の繰り返し
（一の位が６の数を順にかけていったときの一の位）６の繰り返し
（一の位が８の数を順にかけていったときの一の位）８、４、２、６の繰り返し
５個かけあわせたときに一の位の数が４となるのは、一の位の数が４の場合だけだから、ｎの一の位の数は４と確定します。
最後に、９で割ったときの余りをチェックします（マイナスの数を知っていれば、この余りが一瞬で求められますが・・・）。
８４と２７はともに３の倍数だから、それぞれ２個かけあわせた時点で９の倍数となるので、当然、８４５も２７５も９の倍数となります（もちろん、２７については、２７が９の倍数というところからこの結論を出してもかまいません）。
１１０は９で割ると２余る数だから、１１０５を９で割ったときの余りは、２５＝３２を９で割ったときの余りと等しく（このことについては、東京大学２００７年前期文科数学第３問の解答・解説同様、面積図をイメージすればすぐにわかるでしょう）、５となります。
１３３は９で割ると７余る数だから、１３３５を９で割ったときの余りは、７５＝４９×４９×７→４×４×７＝１６×７→７×７＝４９を９で割ったときの余りと等しく、４となります。
結局、ｎ５を９で割ったときの余りは、４＋５＋０＋０＝９を９で割ったときの余りと等しく、０となります。
したがって、ｎの各位の数の和は９の倍数となり、十の位の数は４に確定し、ｎは１４４となります。
なお、剰余と累乗が絡んだ問題は、近年の灘中では頻出です。
高校で習う合同式の問題をそのまま出しているという感じの安直な問題ですが・・・
（出題例）灘中学校２０２２年算数１日目第４問（表記を一部略しています）
２を１０個かけてできる数を１７で割った余りは[① ]です。また、２を２０２２個かけてできる数を１７で割った余りは[② ]です。
（解法１）
マイナスの数の計算をマスターしていれば、次のようにすれば楽勝です。
２の４乗＝１６を１７で割ったときの余りは－１だから、２の１０乗を１７で割ったときの余りは（ー１）×（－１）×４＝４となります。
２の２０１６（８の倍数＝４×偶数）乗を１７で割ったときの余りは１で、２の６乗を１７で割ったときの余りは（－１）×４＝－４→１３だから、２の２０２２乗を１７で割ったときの余りは１×１３＝１３となります。
（解法２）
マイナスの数を知らない前提で解くと、次のようになります。
２の４乗＝１６を１７で割り切れるには１不足しています。
これを２回かけあわせた数（２の８乗＝１６×１６）は、１６×１６＋１７＋１７＝１６×１６＋１６＋１７＋１＝１７×１７＋１（この部分は面積図をイメージ）となり、１７で割ると１余る数となります。
２の１０乗を１７で割ったときの余りは１×４＝４となります。
２の２０１６（８の倍数）乗を１７で割ったときの余りは１で、２の６乗（＝６４）を１７で割ったときの余りは１３だから、２の２０２２乗を１７で割ったときの余りは１×１３＝１３となります。
