１/９９９８を小数で表すとき、小数第４８位の数、小数第５６位の数、小数第９６位の数をそれぞれ求めなさい。
循環小数の周期性のよくある問題と異なり、かなりの難問です。
慶應義塾志木高校で２０２０年に同じような問題が出されています（慶應義塾志木高等学校２０２０年第７問）。
筆算を行う（建前の話で、実際には、商が初めて０でない数の位を１と求めた後は、１００００－９９９８＝２、１００００×２－９９９８×２＝２×２＝４、１００００×４－９９９８×４＝４×２＝８、１００００×８－９９９８×８＝８×２＝１６、・・・というようにしています）と、１/９９９８＝０．０００１０００２０００４０００８００１６・・・というようになり、小数点以下は、４個ごとに初項（初めの数）１、公比２の等比数列（２の累乗）のデジタル表示になっています（ただし、繰り上がりのあるところでは、別途処理が必要です）。
小数第４５位から小数第４８位までは４８/４＝１２セット目で２の１１乗となり、１０２４×２＝２０４８となります。
小数第４９位から小数第５２位までは１３セット目で２の１２乗となり、２０４８×２＝４０９６となり、小数第４９位以下から小数第４８位に繰り上がることはないですね。
したがって、小数第４８位の数は８となります。
同じような問題が複数あるので、状況が異なることが容易に予想できますね。
上で検討したように繰り上がりに注意が必要です。
小数第５３位から小数第５６位までは１４セット目で２の１３乗となり、４０９６×２＝８１９２となります。
小数第５７位から小数６０位までは１５セット目で２の１４乗となり、８１９２×２＝１６３８４となり、小数第５７位から小数第５６位に１繰り上がります（さらに下から繰り上がることはないですね）。
したがって、小数第５６位の数は２＋１＝３となります。
小数第９３位から小数第９６位までは９６/４＝２４セット目で２の２３乗となり、１０２４×８１９２＝８３８８６０８となり、小数第９７位から小数第１００位までは２５セット目で２の２４乗となり、８３８８６０８×２＝１６７７７２１６となり、小数第１０１位から小数第１０４位までは２６セット目で２の２５乗となり、１６７７７２１６×２＝３３５５４４３２となります。
８３８８６０８
１６７７７２１６
＋ ３３５５４４３２
小数第９６位を計算すると、８＋７＝１５となり、小数第９７位を計算すると７＋３＝１０となるから、小数第９７位から小数第９６位に１繰り上がります（さらに下から繰り上がることはないですね）。
したがって、小数第９６位は５＋１＝６となります。
