①[ ]にあてはまる１以上の整数の組は何個ありますか。
１１×[ア]＋２３×[イ]＝２０２４
②[ ]にあてはまる１以上の整数の組を１つ答えなさい。
８×[ウ]＋１１×[エ]＋２３×[オ]＝２０２４
①
いもづる算（不定方程式、条件不足のつるかめ算）の問題です。
まず、２０２４を素因数分解します。
２０２４
＝２０２５－１
＝４５×４５－１×１
＝（４５＋１）×（４５－１） （２乗の差＝和と差の積の利用）
＝４６×４４
＝２×２×２×１１×２３ （「九九の逆」の利用）
もちろん、こんなことをしなくても、２０２４＝２×２×２×１１×２３となることは今年の受験生なら覚えていたでしょうが、応用性が高い手法なのでしっかりマスターしておくべきです。
また、２０２５＝４５×４５となることは、２０２５年の受験生は覚えておくべきでしょう。
３９９９９の素因数分解が以前話題になっていましたが、上の素因数分解の手法はそれと同じものです。
２つ例を取り上げてやってみます。
３９９９９
＝４００００－１
＝２００×２００－１×１
＝（２００＋１）×（２００－１）
＝２０１×１９９
＝３×６７×１９９
なお、１４×１４＝１９６＜１９９＜２２５＝１５×１５で、１９９は、１４以下の素数２、３、５、７、１１、１３のいずれでも割り切れないので、素数となります。
９９９９７５
＝１００００００－２５
＝１０００×１０００－５×５
＝（１０００＋５）×（１０００－５）
＝１００５×９９５
＝５×２０１×５×１９９
＝３×５×５×６７×１９９
さて、問題に戻ります。
２３×[イ]、２０２４はともに２３の倍数だから、１１×[ア]も２３の倍数となり、[ア]には２３の倍数が入ります。
同様に、[イ]には１１の倍数が入ります。
[ア]は（０、）２３、４６、・・・というように２３ずつ増えていき、[イ]は[ア]に入る数に応じて、（８８、）７７、６６、・・・１１というように１１ずつ減っていくから、[ ]にあてはまる整数の組は７個あります。
②
[ ]にあてはまる整数の組を１つ求めればよいので、次のようにすればよいでしょう。
①を利用します。
１１×２３＋２３×７７＝２０２４
１１×８＋１１×１５＋２３×７７＝２０２４ （２３＝８＋１５というように、８を取り出しました。）
８×１１＋１１×１５＋２３×７７＝２０２４
だから、[ウ]、[エ]、[オ]にあてはまる整数の組として、１１、１５、７７が見つかりますね。
答えはほかにもたくさんあるので、採点が大変そうですね。
