公開テストが終わるとすぐに平均点が知りたくなるというせっかちな人がいます。
バカにしているわけではありません。
そういう好奇心、探求心、知的欲求というのは知能が高い人に見られる特徴の一つです。
※そのような特徴があるから知能が高いということではありません。
塾が公式に発表していない情報を入手するのは困難ですが、断片的な情報から推測することは可能です。
それを理解している人は、成績表が返却される前に自分で平均点を計算しているのではないかと思います。
その方法が知りたいという人のために比較的簡単な計算方法を紹介しましょう。
１．問題別の正答率から計算する
平均点が出る前に、問題別の正答率が判明している場合、そこから平均点を推測することが出来ます。
⇒ 各問題ごとに、配点×正答率を計算し、合計します。
％は小数に直してから掛け算します。
合計した値を四捨五入して小数第一位までの数値にします。
それでおよその平均点が算出できます。
なぜそのようなことが出来るかというと、
平均点というのは「受験者全員の得点の合計」を「受験者数」で割ったものです。
（小数第２位を四捨五入します）
問題ごとの正答率は、正解者数を受験者数で割ったものを％で表したものです。
（小数第２位を四捨五入します）
問題の正答率に受験者数を掛けるとその問題の正解者数が得られます。
そこにその問題の配点を掛けるとその問題を正解した人の得点の合計が得られます。
これを各問題についておこなって、それらをすべて合計すると全員の得点の合計が得られるのです。
それを受験者数で割れば平均点が得られます。
（「問１の正答率」×受験者数×配点＋「問２の正答率」×受験者数×配点＋……）÷受験者数＝平均点
受験者数がわからなくても、割り算をすると消えるので、この式は
「問１の正答率」×配点＋「問２の正答率」×配点＋……＝平均点
と書き換えることが出来ます。
ここまで求められた人は偏差値50台に相当する実力を持っていると思われます。
しかし、残念ながらこの方法で求めた平均点は実際の平均点と比較すると多少の誤差が出ます。
なぜかというと、塾が発表する正答率、平均点、偏差値などの数値は丸めた（小数第二位を四捨五入して求めた）値だからです。
つまり、正答率が正確な値でないために、それを使って求めた平均点も正確な値ではなくなってしまうのです。
２．もっと正確な値を求める
より正確に求めたい場合は値のとりうる範囲を考えなくてはなりません。
当然、得られるのは平均点のとりうる範囲ということになります。
ピンポイントで当てることは出来ませんが、数学的にはより正しい結果を得られます。
例えば、正答率が71.5％だったとしましょう。
これは小数第２位を四捨五入して得られた値ですから、元の値は71.45％以上71.55％未満です。
配点が４点だとするとそれぞれ４を掛けて、2.858以上2.862未満になります。
このようにすべての問題について範囲を求め、それを合計すると平均点のとりうる範囲（最小値、最大値）が得られます。
正答率が整数で与えられている場合は誤差が１ケタ大きくなります。
例えば正答率が71％だとしましょう。
これは小数第１位を四捨五入して得られた値ですから、元の値は70.5％以上71.5％未満です。
配点が４点だとするとそれぞれ４を掛けて、2.82以上2.86未満になります。
同様にすべての問題について範囲を求め、それを合計すると平均点のとりうる範囲（最小値、最大値）が得られます。
ちなみに誤差は、正答率が小数第一位まで与えられている場合は0.1％、整数で与えられている場合は１％となります。
100点満点だと、最大でそれぞれ0.1点、１点の誤差が考えられます。
ここまで出来たら偏差値60台ですね。
偏差値70台を目指すのであれば統計学を使います。
１問あたりの誤差は正しい値に比べて大きい場合と小さい場合があります。
問題数が増えるとそれらが打ち消しあって、誤差は少ない方向に傾くと予想されます。
ここで正規分布が登場します。
問題ごとに配点が異なると計算が難しいですが、標準偏差を求めることが出来れば信頼区間を求めることが出来ると思います。
そこまでやる必要はありませんが、やらなくていいと言っても勝手にやってしまって一人満足している人たちが偏差値70台なのです。
ちなみに公開テストの標準偏差を知りたい人も、平均点、自分の得点、自分の偏差値から逆算することが可能です。
ただし、これもかなり誤差を含んだ値となります。
点数のことなる３人分くらいのデータがあれば絞り込んで特定することが可能です。
絞り込み方は算数の問題を解くときとと一緒です。
それぞれの範囲から共通するものを見つけるだけです。
※点数によってはうまく絞り込めない場合もありますが、そういうときは４人目のデータを使います。
実際に計算してみたところ、塾はそれぞれ丸めた値を使って算出していることがわかりました。
つまり、塾が発表している平均点（小数第一位までの値）を使って計算しているということです。
標準偏差も小数第一位までの値で計算されています。
それが何の役に立つのかと言われると、例えば公開テスト欠席者が家で自分で解いたものを採点して、その場で偏差値まで計算してあげることが出来るくらいですね。
塾を通してやってもらうと手間と時間が掛かります。
結論
平均点を計算するのは趣味として楽しむ分にはいいと思います。
塾から成績表をもらうまでの数日間の暇つぶしにはなると思います。
正確な値は塾の成績表を参考にしましょう。
わからないときは塾で相談しましょう。
塾の先生にもわからないことがあるので、そういうときは他の先生に聞きましょう。
そんなことよりもどうやって成績を上げるのかを考えた方がいいと思います。
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