約数に関連した
おもしろい数字があります
それは、完全数
先日のNHKスペシャル
「神の数式 第２回 宇宙はどこから来たのか」
でも、超弦理論から一般相対論を
導きだすときなどに
完全数 496 が現れた、とありましたが
完全数自体の説明がなかったような。。
完全数は、その数自身を除く約数を
全部足し算すると元の数になる数のこと
除かずに全部足し算すると
元の数の２倍になる でもいいですね
例えば、６
約数は 1, 2, 3, 6 ですが
その数自身の６を除いて足し算すると
1 + 2 + 3 = 6
となり、元の数になっていますね
次に、28
約数は 1, 2, 4, 7, 14, 28で
その数自身の 28 を除いて和を求めると
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
となり、元の数になります
496 や 8128 なども完全数です
偶数ばかりですね
実は、
奇数の完全数があるかどうか
証明されていないのです
また、
完全数とメルセンヌ素数の間にも
関係があり、
メルセンヌ数 Mn ( = 2^n - 1 )
が素数なら、
2^(n-1) x Mn は完全数です
ちなみに、
2^n は２の n 乗を表します
例えば、2^3 = 8
メルセンヌ数については
参照：拙ブログ『割り切れない数 素数』
例えば、
n = 3 とすると
Mn = 2^3 - 1 = 7
で、メルセンヌ数は素数です
2^(n-1) x Mn を計算しますと
2^(3-1) x M3 = 4 x 7 = 28
この 28 は完全数でしたね
ということで、n = 3 のとき
Mn ( = 2^n - 1 ) が素数なら
2^(n-1) x Mn は完全数である
は成立します
n = 5 のときも
M5 = 31 → 素数
2^(5-1) x M5 = 496 → 完全数
ですから、成立します
この関係性は
ユークリッドが見つけて
オイラーが証明しています
それから、
完全数は 連続した２つの自然数の積
を含んでいます
例えば、
6 = 1/2 x ( 3 x 4 )
28 = 1/2 x ( 7 x 8 )
496 = 1/2 x ( 31 x 32 )
8128 = 1/2 x ( 127 x 128 )
以前のブログで書きましたように
『三角数と四角数 数のおもしろさを味わう（１）』
n段の三角数を
簡単に求める方法として
1/2 x n ( n + 1 )
を計算すればよいのでしたね
上記の完全数と同じ形をしています
つまり、
完全数は、メルセンヌ素数までの和
とも言えるのです
6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
496 = 1 + 2 + 3 + … + 31
8128 = 1 + 2 + 3 + … + 127
さらに、
この完全数が物質世界の法則を
記述する式に現れるなんて！
実に、おもしろい！
吉田武『はじめまして数学２』
などを参考にしました
（つづく）
文：生塩研一
お読みいただきまして、ありがとうございました。
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