数学ファンの皆さま
久しぶりに数学の話題です
お待たせしました！
待ってないって？
気を取り直して、、
素数は割り切れる数がない数です
もう少しちゃんと言うと
素数とは
１とその数以外の約数をもたない数
約数は割り切れる数ですから
例えば、１２の約数を挙げると
1, 2, 3, 4, 6, 12
素数を小さい順に挙げてみると
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,
29, 31, 37, 41, 43, 53, 59, 61,
67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, …
独立研究者の森田真生さんによると
数学者は素数がお好きらしいです
番号が選べるときには
真っ先に素数から売れていき
残るのは偶数だそうです
数学者でなくとも
素数が好きな方は結構多いのでは？
私も素数は大好きです
だって、割れる数がないのですよ
面白いですよね
え？ どこが面白いって？
2以外の素数は、奇数ばかりです
偶数だと２で割り切れますから
なので、
基本的に一番近い素数は
２つ隣の数となります
このように２つ隣の素数の組を
双子素数と言います (p, p+2)
上の例では
(3, 5) (5, 7) (11, 13)
(17, 19) (29, 31) (41, 43)
(59, 61) (71, 73)
たくさんあるようですが
数字が大きくなると
どんどん減っていきます
双子素数で最大とされるのは
（2011年12月時点）
(3756801695685 x 2^666669 -1,
3756801695685 x 2^666669 +1)
では、
三つ子素数はあるのでしょうか？
(3, 5, 7) は３つ続いているから
三つ子素数と言えますね
しかし、それ以降は出てきません
というのも
三つ子素数を
(p, p+2, p+4) と定義すると
pが３で割って１余れば、p+2 が
pが３で割って２余れば、p+4 が
それぞれ３で割り切れるので
どれかは素数ではなくなります
（3, 5, 7）の３は
３で割り切れますが
約数が１と３だけですので
３の倍数ながら特別に素数なので
OK だったのですね
なので、三つ子素数の定義は
(p, p+2, p+6) もしくは
(p, p+4, p+6) とされます
ですから、
(5, 7, 11) とか (67, 71, 73)
などが三つ子素数となります
三つ子素数で最大とされるのは
（2009年1月時点）
(2072644824759 x 2^33333 - 1,
2072644824759 x 2^33333 + 1,
2072644824759 x 2^33333 + 5)
双子素数や三つ子素数などが
無限に存在するかどうかは
まだ証明されていません
ちなみに、
単独で最大の素数は
今年（2013年）の１月に見つかった
2^57,885,161 - 1
17,425,170桁もあって
1桁あたり1mmの小さな数字で書くと
17km以上にもなります
見付かっている最大の双子素数や
最大の三つ子素数も
似たような形をしているのに
気付かれましたか？
共通している形は、2^n - 1
このような数を
メルセンヌ数といいます
素数であることが多いので
素数を探すときによく使われる形です
一番小さいのは n = 1 ですから
2^1 - 1 = 1 素数ではありません
n = 2 のとき
2^2 - 1 = 3 素数（１番目）
n = 3 のとき
2^3 - 1 = 7 素数（２番目）
n = 4 のとき
2^4 - 1 = 15 素数ではない
n = 5 のとき
2^5 - 1 = 31 素数（３番目）
n が素数でも
メルセンヌ数が素数とは限りません
例えば、
n = 11 のとき
2^11 - 1 = 2047 = 23 x 89
素数ではありません
メルセンヌ数 2^n - 1 が
素数の場合を
メルセンヌ素数といいます
最大の素数である
2^57,885,161 - 1
は、48番目のメルセンヌ素数です
（つづく）
文：生塩研一
お読みいただきまして、ありがとうございました。
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