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２０１７年 東大数学 文系第４問 理系第４問
整数の解説を書き続けてますが、今日の問題はこれ。
共役な無理数は気付かなくちゃダメ
実は、この問題の解説を書くのは２度目なのですが、なぜまた書くかというと、前々回の１９９７年の問題と、前回の２００３年の問題の流れで見てほしかったからです。
「いやいや、今回は共役な無理数がないじゃないか」
と思うかもしれませんが、ありますよ、ちゃんと。
ｐに対し、－１／ｐが登場していてわかりづらくなっていますが、計算してみるとちゃんと共役になるのです。
ちなみに、ｐ＝２＋√５に対して、－１／ｐは２－√５になります。
こざかしいマネをしてますが、東大の整数の歴史をたどれば、連想するのは当然なのです。
過去の問題と比較しよう
では、１９９７年の問題と、２００３年の問題と比較してみてみましょう。
この２回で書いたのは、共役な無理数のｎ乗が登場したら、帰納法で整数だと証明させていました。
その時に必要なのは、漸化式。もっと言えば、３項間の漸化式が得られて、強化帰納法を使うのでした。
それを知っている前提でこの問題を見てみましょう。
おやおや、（１）でａ１とａ２を求めているぞ。
（２）では、ａ１ａｎをａｎ＋１とａｎ－１で表せとな。ということは、３項間の漸化式を作れということに他ならない。
そして、（３）では自然数になることの証明。
なんだ、同じじゃないか！！
となるわけです。
（２）の漸化式の作り方も、ａ１ａｎから作ろうとすると難しいけど、いつも通りの作り方をすると、ごくごく自然。
ということで、（３）までは瞬殺の問題なのでした。
（４）の発想も自然にユークリッド
では、（４）に行きますが、出題された当時は、ユークリッドの発想が難しいと噂になってましたが、そうですか？
僕からしてみると、自然な発想なのですが。
だって、最大公約数に絡む技術って、２つくらいしかないですもの。
一つは最大公約数と最小公倍数をｇとｌっておいて、
①ａ＝ａ’ｇ
②ｂ＝ｂ’ｇ（ａ’とｂ’は互いに素）
③ｌ＝ａ’ｂ’ｇ
④ａｂ＝ｇｌ
の４式を立てる方針。
二つ目がユークリッドの互除法です。
確かにユークリッドの互除法を漸化式に使う発想は難しい（というか慣れていない）かもしれませんが、着想はできるはず。
ということで、手書きの解答です。
ということで、今回は力を抜いてこれくらいで終わりましょう。
いや～、過去問を解くのって大事ですね。
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