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２００３年 東大数学 文系第２問 理系第３問
受験直前期で多忙のため、頻度が落ちてますが、書く気はまんまんなのです。
お待たせしました。
今日は２００３年の整数です。
前回の１９９７年を読んでない方は、先にそちらをどうぞ。
では、問題です。文系はこれで、
理系はこちら
ぱっと見、似てることはお分かりでしょう。
しかし、実は与えられた式がちょっとだけ違う！！（文系は＋１に対して、理系はー１の部分があるでしょ！？）
凝った作りしてますね。実はこの違いで、問題が大きく分岐する問題でした。
それでは、解説行きましょう。まずは文系から。
理系の問題は、文系の後に描きますが、文系の部分を読んでから進んでくださいね。
共役な無理数を、ｎ乗して足すと整数←有名事実
まず（１）ですが、これは前回の１９９７年の記事をとほとんど同じです。
そして（２）の前半では、Ｓｎが正の整数であることを示すのですが、Ｓｎが正だというのは一瞬で証明できるので、Ｓｎが整数であることを示すのに全力を出してよくなります。そして、そのために必要なので、漸化式を作るという流れになります。
そして、ここまで含めて１９９７年と同じです。
と言いつつも、ちょっとだけ補足をしておきましょう。
１９９７年の問題では、具体的にａとｂの値を求めませんでしたが、求めようと思えば求められました。
今回の２００３年の問題でも、２次方程式を解けば、共役な二つの無理数解が得られます。（２＋√３と２－√３）
あまり知られてませんが、「共役な複素数」という言葉があるように、「共役な無理数」と言い方もします。無理数の符号が逆の２数を「共役な無理数」といいます。
そして、共役な無理数を、それぞれｎ乗して和を取ると（つまり、今回のＳｎのこと）、必ず整数になるのです。
これを証明させるのが、１９９７年の問題であり、今回の２００３年の前半部分なのです。（大雑把に言えば）
具体的には、３項間漸化式を立てて、強化帰納法で証明するというもの。
細かい計算はこうです。
これは、有名な証明ですし、東大で頻出ですから、ぜひとも覚えてしまいましょう。
証明法その２
せっかくなんで、これの証明法の別バージョンをご覧ください。こちらも有名な証明法です。
方針としては、αのｎ乗の「有理部」と「無理部」を数列で表し、βのｎ乗と一致することを示して、和を取るわけです。
いずれにせよ、結論が整数になるので、しっかり覚えておきましょう。
文系（２）：１の位の数を求める２つのキーワード
では、（２）の後半。Ｓｎの１の位を求める問題です。
さて、１の位を求めると聞いて、何を思い出すでしょうか？
キーワードを２つ覚えてください。
１つ目が「合同式」の利用ですね。（東大数学では、超頻出です。）
１の位の数というのは、１０で割った余りと全く同じです。
よって、ｍｏｄ１０を計算すればよいことになります。
そして、２つ目のキーワードが「周期性」です。
中学受験でも、１の位を計算させることがありますが、中学受験から全く進化せず、東大受験だろうがやることは同じ。周期を探すのです。
今回は、
Ｓ１≡４
Ｓ２≡４
Ｓ３≡２
Ｓ４≡４
Ｓ５≡４
Ｓ６≡２
となるので、どうやら、４、４、２・・・と続くのではないかと予想します。
周期性の証明方法２つ
あとは、これが延々と続くことを示せばよいのですが、この証明方法が２つあります。
１つ目は、漸化式をいじって証明するというものですが、これはラッキーでないと証明できません。
今回の漸化式をいじってみましたが、うまくいかなかったので挫折しました。
もう一つは帰納法です。
さっきのに比べて、かなり面倒臭いのですが、確実なので仕方なくても帰納法を使いましょう。
このようになります。
文系（３）またまた１の位
では、文系の最後の問題に行きましょう。今度はα＾ｎの１の位を求めよ、となっています。
Ｓｎは整数でしたが、α＾ｎは無理数のｎ乗ですから整数になりません。果たしてどう証明するのでしょうか。
この問題は、問題集や参考書に同じパターンが載ってないので、難しかったと思いますが、βがものすごく小さい値だということを利用します。
本番でこの発想が出てきたら、大興奮するでしょうね。
具体的には、βは０から１の間の数です。これだけ調べられればＯＫ。
だって、Ｓｎから１未満の数を引いたのがα＾ｎだとわかるわけですから、Ｓｎの１の位から１を引けば、答えが出ます。
ということで、手書きの解答はこちら。
理系第４問（２）：ただの計算問題だが・・・
では、調子にのって、理系の解説も一気に行きましょう
理系の（１）に関しては、文系の（１）とほとんど同じなので割愛。（２）からスタートします。
（２）の問いは、「β＾３以下の最大整数を求めよ」というもの。
「え？？要するに、数値計算するだけでしょ？？」
ということで、非常に簡単な問題に思えます。
さっそくβに値を代入してみます。すると、かなり面倒臭い近似が必要な値が出てきました。（当たり前のように、字数下げを行いましょう。）
ということで、代入するのはおススメしません。
では、どうするかというと、もっと簡単♪
そもそもβの値が、－１＜β＜０を満たすので、３乗してもー１と０の間にあります。
これだけで証明終わり。
すぐに代入するっていうのは、良い結果にならないことが多いので、覚えておいてくださいね。
理系（３）いつものフォーマットで、正の整数を証明
では最後。
（３）では、α＾２００３以下の最大整数の１の位の値を求めます。
さて復習。
１の位と言ったら？合同式なので、当然のように合同式を使うのですが、
そもそも、Ｓｎが整数になるという証明がされていません。
ということは、合同式がまだ使えないということですから、まずはいつものフォーマットで、Ｓｎが正の整数になることを求めましょう。
これで、Ｓｎに対して、合同式を使えるようになりました。下準備完了。
－１＜β＾２００３＜０の証明
では、次の問題は、Ｓｎとα＾ｎの関係です。
実は、（２）がフリになっていて、βの３乗でもほとんど０ならば、βの２００３乗は、もっと０付近だろうということに気づかせたいのでしょう。
ということで、（２）と同様で、－１＜β＾２００３＜０を証明します。
これは、簡単に済ませましょう。
１の位は、周期性→証明
最後に、Ｓｎの１の位に行きましょう。
文系の問題と同じように、合同式で周期性を発見し、それを証明します。
証明法も、漸化式で済ませようと思ったら失敗したので、帰納法に進むのも同じ。
ということで、全体の解答をどうぞ。
まとめ
このタイプの問題が東大では頻出です。
整数の証明、帰納法、漸化式、あたりで問題を解かせる問題よく出ます。
まだ、このシリーズを続けて解説行きますので、どうぞ次回をお待ちくださいませ。
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