分数の掛け算の証明

a,b,c,dを自然数とし、a,cは０でないとします。

(b/a)*(d/c)=bd/acを証明します。


(b/a)*(d/c)=(b/a)*d÷c

(ステップ１）

(b/a)*n=bn/aを示します。但し、ｎは自然数。

数学的帰納法を用います。

（１）n=1のときは明らか

（２）n=kのときの帰納法の仮定の成立を仮定します。

すると(b/a)*k=bk/a

両辺にb/aを加えると、

（左辺）＝(b/a)*k+b/a=(b/a)*(k+1)
(右辺）＝(bk/a)+(b/a)=(bk+b)/a=b(k+1)/a

従って、帰納法の仮定はn=k+1のときも成立

以上より、数学的帰納法から、(b/a)*n=bn/a（nは自然数）

（ステップ２）


b/a÷c=b/acを示します。

b/a÷ｃ*c=b/a
(b/ac)*c=bc/ac=b/a(約分）

以上により、(b/a)*(d/c)=bd/ac

(Q.E.D)

分数＊整数の掛け算

a,nを自然数とします。＊を整数環における通常積とします。

(a/n)*n=aを証明します。

数学的帰納法を用います。

（１）n=1のとき、(a/1)*1=a*1=aより、数学的帰納法の仮定が成立。

（１）1
(a/k)*k=aとします。

このとき、(a/(k+1))*(k+1)がaと等しくないとします。

・・・

と書きましたが、もっと簡単な証明法が！

仕切り直しです。

「分数とは割り算である。但し、余りは考えてはならない。」という教訓が生きてきます。

(a/n)*n=bと置きます。（但し、ｂは整数）

両辺をnで割って

（左辺）＝(a/n)*n÷n=a/n

（右辺）＝b/n

従って、a/n=b/n

従って a=b

よって、(a/n)*n=a

(Q.E.D.)

倍分に関する怪しげな説明

昨日の証明の一般化をしてみたいと思います。これでちゃんと説明になっているのか、自信がありません。倍分の原理とでも言っておきましょうか。

b/a=bc/ac （但し、a,cは０でなく、a,b,cは整数とします。）

を示します。

b/a=(b/a)*1=(b/a)*(c/c)=bc/ac


(ここで、c/c=1を使いました。

c/cが１でないとすると、ｃとcが等しくないことになり、矛盾です。

故にc/c=1)

分数の掛け算の仕方を既知としています。


LatexやWinShellを使って書けば、もう少し見やすくなると思うのですが、何しろブログなんて書くの初めてでして・・・

アメブロでそういったソフトが使えるのかすら分かりません（多分使えないと思います）

さて、こんな、どうでもよい、誰でもよく知っている（筈の）（筈が筈でない大学もあるようですが・・・）ことを説明することに如何ほどの価値があるのかわかりませんが、思い立って書いてみました。

a,b,cが有理数、実数、複素数の場合も同様に出来るでしょう。

n次正方行列の場合はこのようにはいきません。n次正方行列全体の集合は、非可換環だからです。

では、失礼いたします。