途中経過をまとめておかないと、頭が整理できません。
さてと・・・
①曲った空間では平行移動の概念が平らな空間の場合と若干異なり、アフィン係数がつく。このときの平行移動をアフィン接続と言う。尚、アフィン係数は一般座標変換に対してテンソルではないが、アフィン変換に対してはアフィン変換の余分な項が消え、テンソルとしてふるまう。
②アフィン接続によって拡張された平行移動を用いることにより、共変微分が定義される。共変微分に対して、計量テンソル（上付き、下付き両方とも）は０となる。すなわち、共変微分に対して計量テンソルは定数とみなせる。
③以下の条件を満たす時、アフィン係数はクリストッフェル記号と呼ばれ、Γと表される。Γによってベクトルの平行移動が表されるとき、これをリーマン接続と言う。
Ⅰ・アフィン係数が下付き添え字について対称。
Ⅱ・平行移動によってベクトルの長さは変化しない。
尚、Ⅰの条件は時空の任意の点においてΓのすべての成分を０に置くことが出来るための必要条件であり、これは、物理的には局所的なローレンツ系を作り出せること、すなわち等価原理の数学的表示である。また、このことにより、Γが質点に働く重力を表していることが分かる。
これだけのことを数式を使って表すのは実は面倒くさく、添え字が半端無く出てくる。クリストッフェル記号を計量テンソルの微分を使用して表示すしたものは未だ覚えられていない。添え字が多いと覚えるのは困難です。
ベクトルの共変微分の仕方が分かれば、その拡張としてテンソルの共変微分の式も導き出せるので、ここでは式自体を覚えるのではなく、その流れを押さえておく方が無難そうです。でも、演習で式の使い方にある程度は慣れるようにしておこう。
正直、相対論の勉強を始めて、テンソル解析を学習し始めたころから、「人間は忘れる生き物である」という言葉がしみじみと胸にしみます。
だって、電磁場の作用とかクリストッフェル記号など、添え字が多いものは覚えられないですし。でも、大事なのは細部ではなく理論の流れだと思うので、最初のうちは理論の大局的な流れをつかむことに全力を注ごうと思います。
今日の一言。
「木を見て森を見ずではなく、まずは森を見よう」
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さてと・・・
①曲った空間では平行移動の概念が平らな空間の場合と若干異なり、アフィン係数がつく。このときの平行移動をアフィン接続と言う。尚、アフィン係数は一般座標変換に対してテンソルではないが、アフィン変換に対してはアフィン変換の余分な項が消え、テンソルとしてふるまう。
②アフィン接続によって拡張された平行移動を用いることにより、共変微分が定義される。共変微分に対して、計量テンソル（上付き、下付き両方とも）は０となる。すなわち、共変微分に対して計量テンソルは定数とみなせる。
③以下の条件を満たす時、アフィン係数はクリストッフェル記号と呼ばれ、Γと表される。Γによってベクトルの平行移動が表されるとき、これをリーマン接続と言う。
Ⅰ・アフィン係数が下付き添え字について対称。
Ⅱ・平行移動によってベクトルの長さは変化しない。
尚、Ⅰの条件は時空の任意の点においてΓのすべての成分を０に置くことが出来るための必要条件であり、これは、物理的には局所的なローレンツ系を作り出せること、すなわち等価原理の数学的表示である。また、このことにより、Γが質点に働く重力を表していることが分かる。
これだけのことを数式を使って表すのは実は面倒くさく、添え字が半端無く出てくる。クリストッフェル記号を計量テンソルの微分を使用して表示すしたものは未だ覚えられていない。添え字が多いと覚えるのは困難です。
ベクトルの共変微分の仕方が分かれば、その拡張としてテンソルの共変微分の式も導き出せるので、ここでは式自体を覚えるのではなく、その流れを押さえておく方が無難そうです。でも、演習で式の使い方にある程度は慣れるようにしておこう。
正直、相対論の勉強を始めて、テンソル解析を学習し始めたころから、「人間は忘れる生き物である」という言葉がしみじみと胸にしみます。
だって、電磁場の作用とかクリストッフェル記号など、添え字が多いものは覚えられないですし。でも、大事なのは細部ではなく理論の流れだと思うので、最初のうちは理論の大局的な流れをつかむことに全力を注ごうと思います。
今日の一言。
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