今日は久しぶりに大学の図書館に行ってきた。と同時に、久しぶりに学食でご飯を食べた。最近、自炊オンリーだったのでさんまの塩焼きがとてもおいしかったです。
それはさておき、現在、一般相対論に入る前にリーマン幾何学で必要な部分を勉強中です。
普通、ベクトルの微分というのはベクトルを平行移動し始点を一致させてから行うのが普通ですが、曲面の世界では、平行移動によって元のベクトルとは異なってしまいます。そして、ベクトルの微分というのが共変的になりません。共変形式がウリの相対論でそれはまずいっすよね。
そこで、出てきたのがaffine coeffcient。こいつを使うことで、平行移動をスムーズに表せ、自然な形での微分が定義できます。このときの微分を共変微分と言います。
内山「一般相対性理論」を参照するとaffine coeffcientを使用した無限小平行移動の定義をaffine connectionと呼び、affine coefficientが空間内の各点に与えられている時、その空間をaffine接続空間と言うらしいです。もう、この辺は数学の匂いがぷんぷんです。
affine coefficient自体は、テンソル量とは限らないのですが、affine transformationに対してはテンソル量となります。
このあと、Chiristoffelの話がでてきたり、その添え字の対称性こそが局所慣性系を作り出せる、すなわち等価原理の数学的表現という面白い話題が出てきたり、曲率の話もでてきます。
何気にリーマン幾何学おもしろいですね。
おもろー。
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それはさておき、現在、一般相対論に入る前にリーマン幾何学で必要な部分を勉強中です。
普通、ベクトルの微分というのはベクトルを平行移動し始点を一致させてから行うのが普通ですが、曲面の世界では、平行移動によって元のベクトルとは異なってしまいます。そして、ベクトルの微分というのが共変的になりません。共変形式がウリの相対論でそれはまずいっすよね。
そこで、出てきたのがaffine coeffcient。こいつを使うことで、平行移動をスムーズに表せ、自然な形での微分が定義できます。このときの微分を共変微分と言います。
内山「一般相対性理論」を参照するとaffine coeffcientを使用した無限小平行移動の定義をaffine connectionと呼び、affine coefficientが空間内の各点に与えられている時、その空間をaffine接続空間と言うらしいです。もう、この辺は数学の匂いがぷんぷんです。
affine coefficient自体は、テンソル量とは限らないのですが、affine transformationに対してはテンソル量となります。
このあと、Chiristoffelの話がでてきたり、その添え字の対称性こそが局所慣性系を作り出せる、すなわち等価原理の数学的表現という面白い話題が出てきたり、曲率の話もでてきます。
何気にリーマン幾何学おもしろいですね。
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