48.式の展開⇔因数分解 Ⅰ

こないだただの計算だったのに、順番めちゃくちゃじゃない？

って思えますけどもね、これが考えあってのことでして。

別に、計算自体できないって人もそこまで多くないでしょう。

こないだ、分数の掛け算割り算を図で描きましたね。

あれと似た図を使います。

まずは、基本中の基本。

ax + ay = a ( x + y )

例えば5a+3a=8aなんてのは、aが5個と3個あれば、全部で8個じゃないかって考えられますが、頭の中では

5a + 3a = (5+3) a = 8a

と考えてるわけです。この5とか3とかを文字にすると先ほどの式になります。

でもこんなこと言われても頭が付いていかない。だって俺ら普通に計算してるだけだし。

じゃあ・・・

これでどうだ。

四角形二つを考える。

ひとつは縦a 横x　　　　　　　　　　面積はax

もう一つは縦a　横y 面積はax

これらの四角形を合体させて、ひとつの大きな四角形と見る。

すると、縦a　横x+y 面積はa(x+y)

面積を足して、全体の面積と変わるはずはないよね。

（この考え方が物理でいうところの保存則　ただしこれは詳しく勉強するとそう簡単なことではないらしい）

よって、ax + ay = a(x+y)が成り立つと。

これだけじゃつまらない。

次。

(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

こんなの、(c+d)をひとまとまりとして考えて、

(a + b) (c + d)=a(c + d) + b(c + d)

って考えれば簡単じゃん。

でもこれも図で行きましょう。この手口が好きなんで。

今度は4つの四角形ですね。

全体が縦a+b 横c+dだから、面積の和が(a + b) (c + d)となると。

そうだ。因数分解。

先ほどの式

(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

とありましたが、等式、イコールで結ばれるってことは両辺が同じものだってことです。

だから、左辺→右辺　だけでなく右辺→左辺もイケる。

これが因数分解。

素因数分解ってのがありました。

456 = 2^3 * 3 * 19

とか。（「2^3」は、2の3乗　つまり2掛ける2掛ける2）

これは、ある数字が、何と何と・・・何をかけて出来てるかを考えるものでした。

今回は、それの文字式バージョン。

中学とか高校では、展開を一通りやってから因数分解って分けてるけど、同時にやった方が「単に逆なだけだな」って分かりやすいと思います。

というわけで、

(a+b)^2 = a^2+ 2ab + b^2

a^2+ 2ab + b^2 = (a+b)^2

これは一見式の形が違う。

でも考え方は同じ。

2ab の 2 はどこから？

ええ。右上と左下にabが二つありますね。

だから、足して2ab

ここまではほとんどの教科書に載ってる。

（俺の使ってたのにはなかったけど、塾の教科書には載ってた）

ならば、安っぽい教科書には乗っていないもの（「数学で遊ぼう」的な本には載ってるかも）をやろうじゃないですか。

まずは軽くシャブ・・・ジョブ程度。

(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca

a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)^2

これも同じ図の描き方でいい。

一辺を３つに分けるだけ。

段々図が見づらくなってきた。

ちゃんとすべて揃っている。

左上からさ、右下に対角線を引くと（ちゃんとした図を描けばうまく引けるはず）、線対称な形たちになってキレイ。

このことからも、うまく2ab , 2bc , 2ca (図では ac ) になることが分かります。

また、中３当時の乙矢君が大好きだった公式。

(a + b) (a - b) = a^2 - b^2

a^2 - b^2 = (a + b) (a - b)

これ。

昨日結構悩んだんですよ。

普通に今まで通りの図でも描ける。

灰色の部分の面積を考えます。

左の図では、　縦a+b 横a-b だから面積は(a + b) (a - b)

これでいいはず。

しかし、a^2 - b^2の形にするには・・・

ああ、図の赤い内枠の四角形を移動させればいい。

どっちも二辺の長さが a と b だからね。

そしたら、右の図になる。

！？

白い部分の面積って b^2 じゃん。

全体の面積って a^2 じゃん！！

ってことなんだけどさ・・・

気に食わない。

図形を移動させるとか、そういう操作はなるべくしたくない。

俺はいいけど、見てる人はよくわからない。

そういうわけで、1時間悩んで作った図形がこちら。

これどうよ。

まず、三角形から考えましょう。

大きな三角形は底辺a 高さa よって面積1/2 * a^2

小さな三角形は底辺b 高さb よって面積1/2 * b^2

だから、灰色の四角形の面積は1/2 * (a^2 - b^2)

いいじゃんいいじゃん。

さらに、ここからが面白い。

今は亡き台形の面積公式。

((上底) + (下底)) * (高さ) ÷ 2

上底 b 下底 a 高さ a-b

よって、面積は1/2 * (a + b) (a - b)

だから・・・・・・・・・・・

1/2 * (a + b) (a - b) = 1/2 * (a^2- b^2)

1/2倍が邪魔だから消して

(a + b) (a - b) = a^2 - b^2

どうですか。

思いついた時は、ちょっと泣きそうになりましたよ。

こんな感じで、公式はどんどん図形化していきましょう。

ただ覚えてテストの時に使うってのはやっぱね、嫌なんですよ。

やってほしくない。数学がかわいそう。

理解さえしておけば、覚えなくてもその場でさっと出せる。

それにね、つまらない話だけどレベルの高い学校じゃ入試に公式（or 定理）の証明を出してきます。

そんな時、式変形・・・だけでなく、他の人と一風違った証明をしたらかっこよくないですか？

さて、次回はこの続きいきます。