0の0乗がいくつになるかというと、高校数学では定義されていないのだから、計算できない。
二つの仮説が立てられるのだが、
①0の2乗は0、0の1乗は0だから、0の0乗は0
②2の0乗は1、1の0乗は1だから、0の0乗は1
このどちらが正しいのか、或いは他の解答があるのか。なかなか決め手はないかもしれないけれど、少なくとも①は間違いであることは、数Ⅲを履修した人ならば分かるよね。
xのx乗を微分してみよう。対数微分法を使ってみたりすると、
y=x^x (x>0)
y'=x^x(1+logx)
となる。よってx=1/eで極小となり、
極小値は(1/e)^(1/e)となる。
だから、x^xは極小値以上になるはず。①の0の0乗が0だという仮説は、かなり厳しい。
②の仮説はどうかというと、かなり有力ではある。
lim x→+0 (xlogx) =0
これがなかなか高校数学では証明しにくいのだけど、これが正しいのであれば、lim x→+0 (x^x) =e^0=1
となるからね。（これを示すには、ロピタルの定理とか使わなければいけないかな。高校数学の範囲で証明方法があるかな？）
実際に、手元のiphoneの電卓で0.001の0.001乗を計算してみたのだけど、0.993くらいの数字になっている。
ということで、私は”0の0乗はいくつですか？”と聞かれたときには、”だいたい1”と答えている。
いくた
こういう記事を書いておけば、ルーデンス先生が食い付いてくれないかな。