§2.4 ガロア群関連証明
定理11、13を証明する。
（定理11）
ガロア拡大体Lの原始元θをその全Q上共役解に置き換える置換の集合をMとする。
Mの任意の２つの元をｇ：θ→ｇ（θ）、ｈ：θ→ｈ(θ)とするときｇ・ｈ：θ→ｇ（ｈ（θ））と定めると、Mは群の公理をみたし群になる。
以下、θのＱ上最小多項式をｆ（ｘ）＝０とする。
証明）群の公理①～④について順に確認していく。
この集合が①「定められた演算で閉じている」ことについては、ｇ（ｈ（θ））がｆ（X）＝０の解であること、すなわちｆ｛（ｇ（ｈ（θ））｝＝０を示せばよい。
ｆ（ｇ（θ））＝０にアーベルの既約定理を適用すると、ｆ｛ｇ（ｈ（θ））｝＝０が得られる。
②「単位元の存在」については、恒等置換θ→θがその役割を果たす。
次に③「逆元の存在」を確認する。ガロア群Gの元を「ｇ₁ ｇ₂ ｇ₃…」とし、θの任意のQ上共役解をθ’とする。θ→θ’の逆元の存在を示すには、θ∈「ｇ₁（θ’） ｇ₂（θ’） ｇ₃（θ’）…」を確認すればよい。
まず①の結果より「ｇ₁（θ’） ｇ₂（θ’） ｇ₃（θ’）…」はいずれもf（X）＝０の
解である。
また、アーベルの既約定理（定理１）よりｇ（θ’）＝ｇ’（θ’）ならばｇ（θ）＝ｇ’（θ）、対偶にかえてｇ（θ）≠ｇ’（θ）ならばｇ（θ’）≠ｇ’（θ’）である。したがって、「ｇ₁（θ’） ｇ₂（θ’） ｇ₃（θ’）…」の中に同一の元は含まれない。この中にはｆ（ｘ）＝０の解すべてが含まれており、θ∈「ｇ₁（θ’） ｇ₂（θ’） ｇ₃（θ’）…」が得られた。
θ＝ｇ（θ’）をみたすｇが、θ→θ’の逆元となる。
なお、ｇ⁻1・ｇ＝eならば、ｇ・ｇ⁻¹＝eも成り立つことについては（※54）で確認している。
最後に④「結合法則をみたしている」ことについて述べる。
ｆ・ｇ：θ→ｆ（ｇ（θ））である。ｆ（ｇ（θ））にさらにθ→ｈ（θ）の置換を施すと、ｆ（ｇ（ｈ（θ）））に変わる。したがって（ｆ・ｇ）・ｈ：θ→ｆ（ｇ（ｈ（θ）））である。
またｇ・ｈ：θ→ｇ（ｈ（θ））である。ｆ（θ）にθ→ｇ（ｈ（θ））の置換を施すと、ｆ（ｇ（ｈ（θ）））に変わる。したがってｆ・（ｇ・ｈ）：θ→ｆ（ｇ（ｈ（θ）））である。
あわせて（ｆ・ｇ）・ｈ＝ｆ・（ｇ・ｈ）が得られた。 ■
（定理13）
ガロア群の構造は原始元の選び方によらず一意に定まる。
証明）ガロア拡大体Ｌの異なる原始元をθ、βとする。θ、βを原始元とみた際のガロア群をそれぞれＧ、Ｇ’としてＧとＧ’が同型であることを示そう。
βのθ形式をβ＝B（θ）とし、θのQ上共役解の集合を「θ＝θ₁ θ₂ θ₃…」
とする。ここで以下の①式をつくる。
（X－B（θ））（X－B（θ₂））（X－B（θ₃））…＝０…①
対称式の基本定理より、①式はβを解にもつQ上多項式である。次数の比較から、この式がβのQ上最小多項式である。
そこでGの元ｆ：θ→ｆ（θ）に対し、これと対応するG’の元ｆ’を「β→ｆ’（β）」＝「B（θ）→B（ｆ（θ））」が成り立つように選んでいく。これにより、GとG’の各元に１対1の対応がつく。
次に、この1対１の対応が演算の結果に保存されることを確認する。ｆ・ｇとｆ’・ｇ’が対応していることを示すには、ｆ’（ｇ’（B（θ）））＝B（ｆ（ｇ（θ））を示せばよい。
ｆ’（B（θ））＝B（ｆ（θ））にアーベルの既約定理を適用して、θ→ｇ（θ）を施すと
ｆ’（B（ｇ（θ）））＝B（ｆ（ｇ（θ）））。B（ｇ（θ））＝ｇ’（B（θ））より、求める等式が得られた。 ■