§2.2 単拡大体関連証明
定理３～定理６の順に証明を述べる。
（定理３）
θ形式で表記できる数の集合は体になっており、Q（θ）とは同一の集合である。
また、Q（θ）の元のθ形式による表記は一意に定まる。
証明）まず、θ形式の集合が四則演算で閉じていることを確認する。以下、θのQ上最小多項式をｆ（X）＝０とする。
θ形式2数の和・差がθ形式になることは明らか。
θ形式2数の積ｈ（θ）は、次数がθ形式の定義からオーバーしている可能性がある。その場合、ｈ（X）をｆ（X）で割って、deg ｆ（X）>deg ｈ’（X）をみたす余りｈ’（X）を求める。ｆ（θ）＝０よりｈ（θ）=ｈ’（θ）。したがってｈ’（θ）が2数の積に等しいθ形式である。
最後にθ形式2数ｇ（θ）、ｈ（θ）について、ｇ（θ）÷ｈ（θ）の商となるθ形式が存在することを確認する。証明は以下のように変形できる。
→（１）「Yを未知数とする不定方程式ｇ（θ）=ｈ（θ）Yが解となるθ形式をもつこと」を示せばよい。
→（２）「１=ｈ（θ）Yが解となるθ形式をもつこと」を示せばよい。
→（３）「Y、Zを未知数とする不定方程式１=ｆ（θ）Z+ｈ（θ）Yが解となるθ形式をもつこと」を示せばよい。
→（４）「１=ｆ（X）Z+ｈ（X）Yが解となるQ上の式をもつこと」を示せばよい。
各変形が可能な理由は以下の通りである。
（１）→（２） （２）の式の解にg（θ）をかけると、（１）の式の解になる。除法の原理を用いて次数を調整すれば、（１）の式の解となるθ形式が求まる。
（２）→（３） f（θ）=０より。
（３）→（４） （４）の式の解にθを代入すると（３）の式の解となる。次数が定義からオーバーしている場合は、やはり除法の原理を用いて調整すればよい。
（４）→ h（θ）はθ形式という仮定より、deg ｆ（X）>deg h（X）が成り立ち、f（x）とh（x）は互いに素である。したがって定理２から（４）が導かれる。
以上で、θ形式2数の四則演算の結果に等しいθ形式が存在することが示された。
次に、Q（θ）と「θ形式で表記できる数の集合」が等しいことを確認する。
Q（θ）とは有理数とθの四則演算の結果になりうる数の集合をさしている。したがってQ（θ）⊇「θ形式で表記できる数の集合」は明らか。
有理数もθもθ形式のうちに含まれる。「θ形式で表記できる数」が四則演算で閉じていることから、Q(θ)の元はいずれもθ形式で表記できる。よって、Q（θ）⊆「θ形式で表記できる数の集合」が成り立つ。
あわせて、Q（θ）=「θ形式で表記できる数の集合」が得られた。
最後にQ（θ）の元のθ形式による表記が一意に定まることを確認する。
以下、背理法を用いる。ある元のθ形式による表記が2通り存在するとし、それらをｇ（θ）、ｈ（θ）とする。ｇ（θ）=ｈ（θ）より、θを解にもつ方程式ｇ（ｘ）－ｈ（ｘ）＝０が存在することになる。この式の右辺の次数はｆ（ｘ）を下回るので、θの最小多項式がｆ（ｘ）＝０であることと矛盾する。 ■
（定理４ 原始元の存在）
代数的拡大体は単拡大体である。
証明） 以下、２回の代数的単拡大をへて構成された体が単拡大体であることを確認する。代数的単拡大が３回以上の場合に関する証明も、代数的単拡大が２回の場合に帰着する。
2回の代数的拡大の原始元をα、βとする。またそれぞれの任意のQ上共役解をα’、β’と表記し、有理数qを（α－α’）÷（β－β’）の商と一致しない数とする。このような有理数は無数に存在する。
このとき証明課題を以下のように変えていくことができる。
→（１）「Q（α β）＝Q（α＋qβ）をみたす有理数qが存在すること」を示せばよい。
→（２）「α、β∈Q（α＋qβ）かつα＋qβ∈Q（α β）」を示せばよい。
→（３）「β∈Q（α＋qβ）」を示せばよい。
→（４）「βのQ（α＋qβ）上最小多項式が１次式であること」を示せばよい。
→（５）「βのみを共通解とするQ（α＋qβ）上の２式が存在すること」を示せばよい。
各変形の詳細は以下のとおりである。
（１）→（２）α、β∈Q（α＋qβ）からはQ（α＋qβ）⊇Q（α β）が、α＋qβ∈Q（α β）からはQ（α＋qβ）⊆Q（α β）が得られ、あわせてQ（α＋qβ）＝Q（α β）となる。
（２）→（３）α＋qβ∈Q（α β）は明らか。また、β∈Q（α＋qβ）ならば、α＝（α＋qβ）－qβより、α∈Q（α＋qβ）。
（３）→（４）１次式の解は、定数項の数と一致する。
（４）→（５）アーベルの既約定理（定理１’）による。
（５）→αのQ上最小多項式をｆ（X）、βのQ（α＋qβ）上最小多項式をｇ（α＋qβ X）とする。ｆ（X）にX→（α＋qβ－qX）の置換を施しｆ（α＋qβ－qX）をつくる。ｇ（α＋qβ X）、ｆ（α＋qβ－qX）はいずれもβを解にもつQ（α＋qβ）上の式である。また有理数qの選び方から２式はβ以外に共通解をもたない。したがって（５）が示された。
上記の証明の変形については、（※49）でも補足を加えている。 ■
（定理５ 拡大次数の一意性）
原始元の選び方によらず、代数的拡大体Ｌの拡大次数は一意に定まる。
証明）代数的拡大体Ｌの異なる原始元をβ、θとして、βとθのＱ上最小多項式の次数が一致することを示そう。β、θのＱ上最小多項式の次数をそれぞれа、ｎとしてа＝ｎを導くことにする。
以下、代数的数「α₁ α₂ α₃…」の各数に有理数をかけて足し合わせた式を{}を用いて{α₁ α₂ α₃…}と表記することにする。たとえば、{１ β β²…βª⁻¹}は１＋ｑ₁β ＋ｑ₂β²…＋ｑa‐1βª⁻¹という形の式を意味している。
定理３により{１ β β²…βª⁻¹}、{１ θ θ²…θⁿ⁻¹}はＬのすべての元を一意的に表記することができる。以下{１ θ θ²…θⁿ⁻¹}から１以外の任意の元を取り除き、{１ β β²…βª⁻¹}の元の1つβ’と取り換えても、Ｌのすべての元を一意的に表記できることを示そう。この操作をｎ－１回繰り返すと、Ｌのすべての元を一意的に表記できるｎ項の式{１ β’ β”…}が得られるが、βも原始元であることからａ＝ｎが導かれる。
以下{１ θ θ²…θⁿ⁻¹}からθを取り除いた場合について考えるが、取り除く元は「θ θ²…θⁿ⁻¹」のいずれであっても構わない。まず{１ β’θ² θ³…θⁿ⁻¹}がＬのすべての元を表記できることの証明の概要は以下のようになる。
→（１）「θが{１ β’θ² θ³…θⁿ⁻¹}で表記できること」を示せばよい。
→（２）「β’を表記するθ形式のθの係数が０でないこと」を示せばよい。
→（３）{１ θ² θ³…θⁿ⁻¹}によって表記されないβ’が存在すること」を示せばよい。
→（１） Ｌのすべての元は{１ θ θ² θ³…θⁿ⁻¹}によって表記される。（１）がみたされていればこの式のθを{１ β’θ² θ³…θⁿ⁻¹}に置き換える変形が可能である。したがってＬのすべての元が{１ β’θ² θ³…θⁿ⁻¹}で表記できることになる。
（１）→（２） （２）がみたされていれば、β’＝ｑ₀＋ｑ₁θ＋ｑ₂θ²＋…（ｑ₁≠０）と表記できる。この式をθについて整理すると、（１）の式が得られる。
（３）→ 背理法を用いる。「β β²…βª⁻¹」の各数すべてが{１ θ² θ³… θⁿ⁻¹}で表記されたとする。θを表記するβ形式の各項「β β²… βª⁻¹」を{１ θ² θ³…θⁿ⁻¹}に置き換えていくと、θを表記するθ形式――θとは見かけ上異なる――が得られる。これはθ形式による表記の一意性に矛盾する。
次に{１ β’θ² θ³…θⁿ⁻¹}によるＬの元の表記が一意に定まることを確認する。
背理法を用いる。{１ β’θ² θ³…θⁿ⁻¹}によって2通りの表記をもつＬの元が存在すると仮定する。
ここでこの２通りの表記について①β’の係数が等しい場合と②β’の係数が異なる場合について場合分けする。
まず①の場合、２式を引き算すると０を表記する{１ θ² θ³…θⁿ⁻¹}が得られる。したがって０に関するθ形式の一意性から①は起こりえないことが導かれる。
次に②の場合、２式を引き算すると、β’の係数は０にならない。そこでこの式をβ’について整理すると、β’を表記する{１ θ² θ³…θⁿ⁻¹}が得られるが、これはβ’の選び方に反する。β’の選び方から②も起こりえないことが導かれた。
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（定理６ 次元の積公式）
Q→M→Lを代数的拡大列とする。Q→Mの拡大次数をа、M→Lの拡大次数をｎとするとき、Q→Lの拡大次数はａｎである。
証明）代数的拡大列Q→M→Lにおいて、Q→M、M→Lの原始元をそれぞれα、βとする。また、αのQ上最小多項式、βのM上最小多項式の次数をそれぞれа、ｎとする。「１ α α² α³…αª⁻¹」「１ β β² β³…βⁿ⁻¹」の元を1個ずつ選び積をつくると、ａｈｎ個の積ができる。
（１）「これらａｎ個の数に有理数をかけて足し合わせたａｎ項の式によってＬのすべての元が一意的に表記されること」を示そう。定理５により、Ｌのすべての元を一意的に表記できる式の項数は一意に定まることが保証されている。したがって、（１）からＬの拡大次数がａｎ次であることが導かれる。
以下は、定理３の証明とまったく同様の流れをたどるので、概要のみのべることにする。
「１ β β² β³…βⁿ⁻¹」の各数にQ（α）の元をかけて足し合わせた式をQ（α）上のβ形式とよぶことにする。
このとき「Q（α）上のβ形式で表記できる数の集合」は四則演算について閉じており、体になっている（※50）。そのため、L＝「Q（α）上のβ形式で表記できる数の集合」が成り立つ。また、Q（α）の元のα形式による表記は一意に定まる。したがって、Lの各元はα形式上のβ形式によって一意的に表記される。この式を展開すると、（１）の条件をみたすаｎ項の式となる。 ■