小出昭一郎他 電磁気学演習 より[1. 11]
電気双極子p_1とp_2が距離rだけ離れて置かれているとき、その位置エネルギーUは
で与えられることを証明せよ。
（解）
（昔これを初めて見たのは、パノフスキーでだが、チンプンカンプンだった）
二つの電気双極子がある場合の位置エネルギーだが、その前に電気双極子について簡単にいうならば、+qと-qという電荷がdという非常に短い距離に置かれているとする。このとき
を電気双極子モーメントという。
dのベクトルは、負の電荷から正の電荷に向かう方向である。
このとき、片方のこの双極子によってrの距離での電位は
となる。
U=qVであるから、この場所にもう一つの双極子の各電荷による位置エネルギーは
-qの位置が(x, y, z)、+qの位置が(x+Δx, y+Δy, z+Δz)とするならば、第一近似で
となる。
ここで、Δxなどのベクトル和はd（ベクトル）なのである。
だから勾配とのスカラー積に直せる。
grad vの計算は微分のuv公式と同じで、θとφがないので、rだけの微分になる。
この片方の電場にもう片方の双極子モーメントを掛けてあげればいいのである。
ところで、Δxなどをどちらに付けてもかまわない。
dの負号が変わるから結果は同じである。