GSL線形代数ルーチン読解: ハウスホルダー変換（２）

前回、長さの等しい2つのベクトル x、 y の鏡映変換であるハウスホルダー変換の説明をしました。

今回はベクトル y として x1 軸上のベクトルを考えます。



x と y は長さが等しくなければならなかったので y の第一成分は x の長さ（ノルム）に等しくなっています。
つまり、任意のベクトル x を第一軸上のベクトルへ変換してしまおうという訳です。

このようなベクトルは2通り存在し得ます。2次元萌えの場合

この図の様に2通りの y の候補が出てきます。
で、一般には、 x の第一軸成分の符号と逆符号のものが選ばれます。
つまり



と置いた時



として   を選びます。
Householder変換にはベクトル x - y の長さ（ノルム）の逆数を掛けるところがありますが、この長さがなるべく大きくなる（0 にならない）よう x の第一軸成分と逆符号（逆方向）の鏡映が選ばれます。

そうすると前回の式（１）は、上の y を用いると

式（１）’


となります。

ここで

式（２）


です。

式（１）’の分母は



ここで β^2 = ( -sign (α) | x | )^2 = | x |^2、 e1 ・ x = x1 から







となります。
こうして式（１）’は

式（３）


となります。
ここで以下の様な ν を考えます。

式（４）


式（２）から、最右辺の様に ν は第一成分が 1 のベクトルになります。
この ν を用いて式（３）は

式（５）


となります。
この ν をハウスホルダーベクトルと言うそうです。

GSL の ハウスホルダー変換の関数

  double   gsl_linalg_householder_transform (gsl_vector *v)

は、入力されたベクトル gsl_vector *v から式（４）に従ってハウスホルダーベクトルを求め、同時に式（５）の τ の値を返します。