水素原子のシュレーディンガー方程式の解Ｅ　ｒの関数Ｒ

今回は変数ｒの関数Ｒ(ｒ)の次の微分方程式(B-3)を解きます。このｒの関数Ｒ(ｒ)は、1926年にSchrödingerが解いて発表したものです。

ｒの関数Ｒ(ｒ)

まず並べ替え、整理します。

関数と変数を次のようにおきます。

これより、次のようになります。

第1項はρとＳ(ρ)で次のように書き替えられます。

α^2を次のようにおきます。

第1項と第2項を合わせて書き替えると次のようになります。

さらに次のようにおきます。

これを代入し、4α2で両辺を割ると次のようになります。

関数Ｓ(ρ)を、さらに次のような初項がゼロでないベキ級数の関数に置き換えます。

※ここは量子力学の本をみてください。

この関数Ｓ(ρ)をρで微分して代入し、計算していくと次のように書き替えることができます。

式(E-7)は、ラゲールの陪微分方程式(Laguerre’s Associated Differential Equation)と呼ばれています。解法は色々あり、次のようなラゲールの微分方程式を経由して解く方法もあります。このラゲールの微分方程式は、ルジャンドルの微分方程式ほど一般的ではありませんが、載っている微分方程式の本もあります。しかし今回は、直接ラゲールの陪微分方程式を、級数を使った数学的帰納法で解いていきます。

以下、まず漸化式を求め、さらに数学的帰納法により解いていきます。

Ｌ(ρ)を次のような無限級数とおく。

ρで微分し、さらにρで微分し、ラゲールの陪微分方程式(E-7)に代入すると次のようになります。

ここでρνの係数だけをピックアップしてみる。
第１項はν=ν＋1とおけばρνとなる。ρνの係数は次のようになる。

第２項もν=ν＋1とおけばρνとなる。ρνの係数は次のようになる。

第３項と第４項はν=νとおけばρνとなる。ρνの係数は次のようになる。

そしてラゲールの陪微分方程式の無限級数の個々の項を書き換え、級数展開し、ρの累乗で整理して表すと次のようになる。

ρにかかわらず左辺が０になるためには、ρのすべての次数の係数が０でなければならない。一般項で表すと次のようになる。

ゆえに次のような漸化式が得られる。

Ｌ(ρ)を無限級数とおき漸化式は得られた。

最終的に得る波動方程式の解Ｒ(ｒ)=Ｓ(ρ)=e(^－ρ/2)ρ(^ℓ)Ｌ(ρ)はρ→∞の時、有限つまり収束する必要があるわけですが、ここで確認してみます。
ν→∞の時
Ｌ(ρ)は無限級数ですがν→∞の時e(^ρ)に漸近し収束します。ゆえにν→∞の時Ｒ(ｒ)はe(^ρ/2)ρ(^ℓ)となります。

ところが上図の下式右辺e(^ρ/2)ρ(^ℓ)はρ→∞の時、無限大になる。つまり発散し、このＲ(ｒ)は波動方程式の解としては受け入れられない。

ν≠∞の時：Ｌ(ρ)を有限級数と置き換える
一方、Ｒ(ｒ) ＝e(^－ρ/2)ρ(^ℓ)Ｌ(ρ)は、e(^－ρ/2)ρ(^ℓ)部分だけならρ→∞の時、収束する。つまり残りの級数部分Ｌ(ρ)を項数ν→∞から、有限の項数に限定すれば級数部分Ｌ(ρ)はρ→∞で収束する。

そこで漸化式において、λ－ℓ－1=ν’とすれば、有限な項数の級数となる。ここで、書き換えをおこないν’=ｎ’と書き換える。さらに次のようにλ=ｎと書き換えると、ｎ－ℓ－1=ｎ’となり、級数Ｌ(ρ)は次のように表される。

最高次数の係数はa(ν’)=a(ｎ’)=a(ｎ－ℓ－1)、最高次数はρ(^ν’)=ρ(^ｎ’)=ρ(^ｎ－ℓ－1)となる。すべての項を展開すると次のように表される。

この展開したＬ(ρ)を、Ｒ(ｒ)の式に代入し、再確認すると次のようになる。

この式の右辺の各項はρ→∞で個々に収束します。有限の項数なのでＲ(ｒ)も収束する。つまりＬ(ρ)を有限の項数としたときＲ(ｒ)も有限であり波動方程式の解として受け入れられることがわかる。

次に数学的帰納法により、具体的に有限な項数の級数Ｌ(ρ)の一般項を求めていく。
(i)まず最初に、最高次数の係数を次のように規定する。

(ii)漸化式で、と置き換えると次のように書き換えられる。

ここで、λ－ℓ－1=ｎ’(=ν’)とすれば、a(ν’+1)=a(ν’+2)=a(ν’+3)・・・=0となり、λ=ｎと書き換えれば、ｎ－ℓ－1=ｎ’となる。

最高次数ρ(^ν’)の係数aν’は、ν’=ｎ’と書き換えるとaν’=aｎ’となる。つまり上の式でν’をｎ’と書き換えると次のようになる。

さらに、ｎ’=ｎ－ℓ－1を代入すると次のようになる。

ここで最高次数ρ(^ν’)=ρ(^ｎ’)=ρ(^ｎ－ℓ－1)の係数：