素数の応用問題 解答編1です 問1〜3までの解説です。
問題は以下でした。
まずは、素数の知識を復習しておきます。
point 素数のまとめ 以下pは素数とする
①素数の定義：正の約数が１と自分自身の２個である自然数
例 ２.3.5.7.11.13.17・・・
②素数を含む方程式を見たら⇨素数＝（整数）×（整数） の形に変形する（積の形に変形）
例 p＝mn m,n：整数 ⇨（m.n)=(p,1）（１.p）（-１.-p）(-p.-1)の４パターンしかないことを利用する問題が非常に多い！！
③素数で偶数は２のみ！ 素数の中でも２だけは特別扱いしよう
（同様に素数で３の倍数は３のみ）
④３以上の素数は全て奇数であることを意識する
⑤5以上の素数は6で割った余りに着目すると p＝6k±１ と表せる
⑥素数を見つける問題は実験⇨推定⇨証明の流れ で考える
証明は3の剰余で考える （と解ける問題が多い）
⑦素数＋素数＝素数 の時、左辺のどちらか一方の素数は必ず２になる
⑧pはp-1以下の全ての自然数1,2,3,...p-1と互いに素である
⑨pCk (1≦k≦p-1)はpの倍数
⑩pが素数でないならば、p=mn (m,n：１より大きい自然数)とおける
それでは、解答です。
解説
問1 知識①の利用
京大模試過去問からの出題です。素数を含む方程式なので、何としても素数＝mnの形を作るために、強引に因数分解をします。この式変形は、慣れてないと厳しいかもしれません。
問2 知識③⑤⑥⑦の利用
京大過去問からです。素数＋素数＝素数では、左辺の２つの素数のうち一方は2になるのでした。あとは、q^2+2^qが3の倍数になることを示すのに、方針1として合同式を用い、方針2では、5以上の素数は6k±1の形になることを用いました。
問3 知識③⑤⑥の利用
京大過去問からです。実験するとn≧5ではn^2+2は3の倍数になることがわかります。
『素数を全て見つけよ』問題は、総じて、やることが決まっていますので、ぜひ得点源にして下さい。
背景を考えますと、素数は１つ見つけるだけでも、数学コンピュータを用いて何年もかかる作業です。
我々、数学者ではない一般人が見つけられる素数など、たかが知れています。よって、受験問題で見つかる素数など、せいぜい2.3.5.7.11.13.17.19.23.29位まででしょう。