２項定理のちょっと嫌がらせっぽい問題

２項定理　　(a＋b)ⁿ ＝ _nC₀aⁿ ＋ _nC₁a^n-1b ＋ _nC₂a^n-2b² ＋ … ＋ _nC_n-2a²b^n-2 ＋ _nC_n-1ab^n-1 ＋ _nC_nbⁿ
　　　　より　　(1＋x)ⁿ ＝ _nC₀ ＋ _nC₁x ＋ _nC₂x² ＋ … ＋ _nC_n-2x^n-2 ＋ _nC_n-1x^n-1 ＋ _nC_nxⁿ　　… (A)
(A) に x＝1 を代入すると、_nC₀ ＋ _nC₁ ＋ _nC₂ ＋ … ＋ _nC_n-2 ＋ _nC_n-1 ＋ _nC_n ＝ 2ⁿ　　… (B)　が成り立つ。
また　(A) に x＝－1 を代入すると、_nC₀ － _nC₁ ＋ _nC₂ － _nC₃ ＋ … ＋ (－1)ⁿ_nC_n ＝ 0　　… (C)　が成り立つ。

ここまでは教科書や問題集に載っている。さて、それを元にした【問題】です。

　　　　　　(1)　　₁₀C₁ ＋ ₁₀C₂ ＋ ₁₀C₃ ＋ ₁₀C₄ ＋ … ＋ ₁₀C₉ ＋ ₁₀C₁₀ ＝ ____
　　　　　　(2)　　₁₀C₁ － ₁₀C₂ ＋ ₁₀C₃ － ₁₀C₄ ＋ … ＋ ₁₀C₉ － ₁₀C₁₀ ＝ ____
　　　　　　(3)　　₁₁C₁ ＋ ₁₁C₃ ＋ ₁₁C₅ ＋ ₁₁C₇ ＋ ₁₁C₉ ＋ ₁₁C₁₁ ＝ ____

では、さっそく《答え》です。
(1)　　(B) より　₁₀C₀ ＋ ₁₀C₁ ＋ ₁₀C₂ ＋ ₁₀C₃ ＋ ₁₀C₄ ＋ … ＋ ₁₀C₉ ＋ ₁₀C₁₀ ＝ 2¹⁰ ＝ 1024　　… (1)'
　　　　(1) の式と同じかと思いきや、(1) には　₁₀C₀ がない！
　　　　よって (1)' から　₁₀C₀ ＝ 1　を引いて、(1) の《答え》は　 1023 　です。

(2)　　(C) より　₁₀C₀ － ₁₀C₁ ＋ ₁₀C₂ － ₁₀C₃ ＋ ₁₀C₄ － … ＋ ₁₀C₉ － ₁₀C₁₀ ＝ 0　　… (2)'
　　　　(2) の式と似ているが、ここにも　₁₀C₀ がない！　　また、符号の順番も微妙に違う。
　　　　₁₀C₀ ＝ 1　だから、(2) の《答え》は　 1 　です。

(3)　　(B) より　₁₁C₀ ＋ ₁₁C₁ ＋ ₁₁C₂ ＋ ₁₁C₃ ＋ … ＋ ₁₁C₁₀ ＋ ₁₁C₁₁ ＝ 2¹¹　　… (B)'
　　　　　　(C) より　₁₁C₀ － ₁₁C₁ ＋ ₁₁C₂ － ₁₁C₃ ＋ … ＋ ₁₁C₁₀ － ₁₁C₁₁ ＝ 0　　… (C)'
　　　　　　(C)' 式の係数がマイナスのものを右辺に移項して
　　　　　　　　　　₁₁C₀ ＋ ₁₁C₂ ＋ … ＋ ₁₁C₁₀ ＝ ₁₁C₁ ＋ ₁₁C₃ ＋ … ＋ ₁₁C₁₁　　… (3)'
　　　　　　(3)' の両辺は等しくて和が 2¹¹ だから、左辺と右辺はその半分 。
　　　　　　2¹¹ ÷ 2 ＝ 2¹⁰ ＝ 1024　より　　(3) の《答え》は　 1024 　です。

◇　２項定理　（→ https://blogs.yahoo.co.jp/ccomori/66938695.html ）