[答1931] 正接の積の平方根
√(tan25ﾟtan35ﾟtan85ﾟ)＝？
[解答1]
4sin85ﾟsin35ﾟsin25ﾟ＝－2(cos120ﾟ－cos50ﾟ)sin25ﾟ＝－2cos120ﾟsin25ﾟ＋2cos50ﾟsin25ﾟ
＝sin25ﾟ＋sin75ﾟ－sin25ﾟ＝sin75ﾟ＝sin(45ﾟ＋30ﾟ)
＝sin45ﾟcos30ﾟ＋cos45ﾟsin30ﾟ＝(√3＋1)/(2√2) 、
4cos85ﾟcos35ﾟcos25ﾟ＝2(cos120ﾟ＋cos50ﾟ)cos25ﾟ＝2cos120ﾟcos25ﾟ＋2cos50ﾟcos25ﾟ
＝－cos25ﾟ＋cos75ﾟ＋cos25ﾟ＝cos75ﾟ＝cos(45ﾟ＋30ﾟ)
＝cos45ﾟcos30ﾟ－sin45ﾟsin30ﾟ＝(√3－1)/(2√2) 、
tan25ﾟtan35ﾟtan85ﾟ＝(4sin85ﾟsin35ﾟsin25ﾟ)/(4cos85ﾟcos35ﾟcos25ﾟ)＝(√3＋1)/(√3－1)
＝(√3＋1)2/{(√3－1)(√3＋1)}＝(√3＋1)2/2 、
√(tan25ﾟtan35ﾟtan85ﾟ)＝(√3＋1)/√2＝(√6＋√2)/2＝1．93185…… です。
[解答2]
tan3θ＝(tan2θ＋tanθ)/(1－tan2θtanθ) 、
＝{2tanθ/(1－tan2θ)＋tanθ}/{1－2tan2θ/(1－tan2θ)}
＝{2tanθ＋tanθ(1－tan2θ)}/{(1－tan2θ)－2tan2θ}
＝tanθ(3－tan2θ)/(1－3tan2θ)＝tanθ(tan260ﾟ－tan2θ)/(1－tan260ﾟtan2θ)
＝tanθ{(tan60ﾟ＋tanθ)/(1－tan60ﾟtanθ)}{(tan60ﾟ－tanθ)/(1＋tan60ﾟtanθ)}
＝tanθtan(60ﾟ－θ)tan(60ﾟ＋θ)
よって、tanθtan(60ﾟ－θ)tan(60ﾟ＋θ)＝tan3θ です。
θ＝25ﾟ として、
tan25ﾟtan35ﾟtan85ﾟ＝tan75ﾟ＝√{(1－cos150ﾟ)/(1＋cos150ﾟ)}
＝√{(4－4cos150ﾟ)/(4＋4cos150ﾟ)}＝√{(4＋2√3)/(4－2√3)}＝(√3＋1)/(√3－1)
＝(√3＋1)2/{(√3－1)(√3＋1)}＝(√3＋1)2/2 、
√(tan25ﾟtan35ﾟtan85ﾟ)＝(√3＋1)/√2＝(√6＋√2)/2＝1．93185…… です。
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