というわけで1では体積と表面積を扱った。
今回は展開図と切断、最短距離問題を扱う。
展開図
正多面体
当たり前だが、
同じ図形だから正
それがN個あるからN面体になる。
錐体
角錐はそんなに困らないと思う。
問題は円錐。
側面積は単なる扇形なので、
角度さえわかればいい。
ところが、
それがわからない場合どうするかというと
こっちを使うことになる。
※だから子どもに見せるなと言っている。
これ導出できます？
底面積がπr^2。側面積はπrL。
この和をまとめるとこうπrＬ＋πr^2＝πr(Ｌ＋r)
側面積はπＬ^2×2πr/2πＬ＝πrLで出せる。
この解き方は常識的に扱われる。
できて当たり前で出してくるので、
小学校では習ってないからきつい。
最短距離問題
具体的に問題をみよう。
円錐
例題
母線の長さ PA = 6 cm、
底面の半径OAの長さ = 1 cmの円錐Pがある。
この円錐に赤いひもが最短距離になるようにかけたとき、
この「ひも」の長さを求めてください。
こういうやつ。
図が出てくるとこうなる。
と、なにこれ意味不明じゃん！となる。
図を見ると余計にわからなくなるのだが、
これ、AからAまでひいてるでしょ？
だから展開図にする。
こうなるので、
先ほどの式で表面積を出す2式は等しい。
これで角度が出ちゃうのだ。
すると紐はAからAまでの最短距離なので
こうなる。
これなら正三角形を
30,60,90に分けた直角三角形だから、
1:2:√3となる。今回は√は使わないけどな
6:AH=2:1だからAH=3となる。
ゆえにAA'は6cm。
とこう出せる。
この発想を覚えておいてほしい。
じゃ角錐なら？
下の図のように、
直方体の表面に頂点Aから頂点Hまでひもをかける。
このとき、ひもの長さを最も短くするには、
どのようにすればよいか。
展開図にひもの様子を書き入れなさい。
ま、長さ求めさせる前の誘導だよね。
えー？ってなるけど、落ち着いてほしい。
ひもは絶対最短距離になる。直線になる限りね。
AからHまで直線引けばいいってだけ。
だからこうなる。
点の移動
こういうやつ
（例題1）
たて6cm、横10cmの長方形ABCDの周上を、
点Pが頂点Aを出発して、
頂点B、頂点Cを通り、
頂点Dまで毎秒2cmの速さで移動します。
三角形APDの面積が25cm²になるのは何秒後でしょう。
これは場合わけ。
1 移動する点は面積が増える三角形をつくる。
2 平行移動なので面積一定
3 移動する点が面積が減る三角形をつくる。
これを図示する。
こういうこと。
だから〇秒のときどの形なのか考えて場合わけしないといけない。
それさえすれば難しくない。
でもこれ、タイトル立体図形でしょ？
そう、序の口から始めたんだ。
本番はこう。
問題
下の図のように、
1辺の長さが6 cmの立方体ABCD-EFGHがある。
点Pは頂点Aを出発して、辺AB上をAからBに動き、
点Qは頂点Bを出発して、辺BC、CD上を
BからC、CからDと動き、
点Rは頂点Eを出発して、
辺EF、FB上をEからF、FからBと動く。
点P、Q、Rは、
それぞれ毎秒1 cm、3 cm、2 cmの速さで、
各頂点A、B、Eを同時に出発する。
このとき、以下の問いに答えなさい。
(1) 出発してから1秒後の四面体BPQRの体積を求めなさい。
(2) 出発してからt秒後の四面体BPQRの体積を、tを使って表しなさい。ただし、3≦t≦4とする。
(3) (2)のとき、四面体BPQRの体積が12.5 cm³になるtの値を求めなさい。
うん。ポルナレフなのはわかってる。
何を言ってるのかわからんよね？
で、少し動かしてみる。
1秒後の移動。
これってこうだよね、と。
これなら計算できそうでしょ？
あとはずらずら書いていくと、最終的に
こうなる。限界が決まってくるわけだから
何秒後にどんな形か、
テレビの動画を写真で撮るように
その瞬間の図を書けば不可能ではない。
で、開成はこれが大好きなの。
なので子どもをαに上げたいなら、
まず自分で開成と筑駒と桜蔭と灘は解こうね
それが「親が学ぶ」意味だと思うよ。
なにこれ！難しい！って親が思わないとき、
子どもに対して侮蔑の言葉平気で吐くんだよね
できないやつが。
本気でそういう親は開成や桜蔭合格の邪魔だと思ってるよ。
だから保護者会は笑わせてきたわけ。
「この人ならうちの子任せられるかも！」と。
親が子どもにとって毒親になってないか、
怒ってるときの顔を鏡で見たほうがいい。
©️お受験のお医者さん