そしたら・・なんと正常に動いたのだ。でも、1日経つと前と同じように、位置判定の動作が正常に終わり、放送局の情報を取りに行くのだが、「ご希望の放送局は現在のエリアでは聴取できません」と怒られるのだった。
ネットで調べてみると、設定の開発者オプションで疑似ロケーション(簡単にいうと、現在地をごまかす機能)をONにすると動いた、という情報があったので試してみたのだが、当然(!)、そうした不正利用はできないようにアプリで対策がされているようで、「疑似ロケーションをOFFにしてください」と怒られた。
これではどうしようもないので、またダメもとでアプリのデータを削除して、インストール直後の状態に初期化したら、今度は正常に動いた。以前、使っていたGALAXY Jにもradikoは入れてあったので、そちらで現在どうなっているかを確認したら、同じエラーで動かないので、こちらもアプリデータを削除して初期化したら、動いた。

↑GALAXY JでWi-Fiを使って、radikoを動作させているところ。SIMは入っているがdocomoの契約は切れているので、位置情報はGPSやWi-Fiから取るようにしているが、位置情報はちゃんと「KYOTO」と出ています。
これで何とか使えそうなのだが、もともと動かなかったのが釈然としないので、radikoのサポートへ状況を報告しておいた。さて、どういう返事が返ってくることやら・・。
(追記:2016/04/13)
radikoのサポートから、早速月曜日に回答が来ました。docomo回線で使う場合は、アプリ起動初回に「位置判定オプション」画面の「ドコモ spモード設定」で、「radiko.jpに位置情報を提供する」にチェックを入れないといけないようです。(この設定には、契約時に設定した「ネットワーク暗証番号」が必要)
この設定を行なうと、アプリデータを初期化した直後、GPSまたはdocomo基地局情報で現在地を確認して、アプリが起動した後24時間経っても、正常に受信できています。