前回は、九州大学理学部物理学科平成２５年度問題Ⅲー２
の小問１を扱いました。
波動方程式の変数分離の解法と過去の出題例そして、
分離定数ｋとωとの関係つまり、分散関係を求める
ところまで、行いました
今回は、小問２から、取り組みます。
小問２では、境界条件によりｋの値は、ｎの値により、
とびととびの値のみしかトリえないことが、判明します。
ｋの値は、定常波の腹と節の位置を決定します。
与えられたＢ式は、定常波つまり固有振動の線形和である、
ことは、前回の投稿の際に、触れました。
小問２は、境界条件をＢに課した際に、
つまり、U(0,t)=U(L,t)=0これが、境界条件で、減の端
X=0,X=Lで、弦は、固定されて、振動しないことを
意味します。
これを課すと波数ｋが、とびとびの値しか、
とれなくなります。
これを波数ｋは、量子化されるといいます。
ｋn=(nπ)/L n;自然数
が、得られます。
ここで、Knもしくはその２条は、波動方程式Ａの分離定数でした。
そして、ｎの値は、玄上に発生する定常波つまり、
固有振動の形を決定します。
n=1：基本振動
n=2：２倍振動
n=3；３倍振動
を与えます。
k=1/λ、もしくは、k=2π/λの関係が存在します。
これらを利用して、
前者からは、λn=1/Kn より、λn=L/(nπ)
後者からは,λn=(2π)/Kn より、λn=(2L)/n
の関係が得られます。
特に、後者の関係を利用して弦上の定常波
つまり固有振動の波形をみますと、
下図の2番目の図のようになります。
小問３では、初期条件を用いてＢの時刻変化の関数形の位相
に含まれるφnを決定させてます。
これは、問題はなく、始めの上の図のように
容易に求めることができます。
これで、小問３まで、終わりました。
続きは、次回の投稿で。