さて、今回は、九州大学理学部物理学科平成２５年度大問Ⅱを取り上げます。
正確には、大問１の中の大きな小問Ⅱというべきですが。
しかし、力学の分野でもⅠとは、隔絶の感がありますので、分類上
大問Ⅱとしました。
大問１は、ばねを仲介とする質点系Ａの衝突問題を扱いました。
大問Ⅱでは、２次元平面において、２つの座標軸の方向に単振動の復元力
を受けて楕円軌道を描いている質点の角運動量、力学的エネルギー
に関する事柄が、出題されてます。
まずは、小問１は、質点の速度ベクトルを求めよ、というものですが、
これは、Ｖ＝∂⒭/∂ｔで求まりますね。
次の小問２は、質点がＰ点に位置しているとき、質点の角運動量を求めよ
というものです。
どの点に関する角運動量かの指定が、ありませんが、原点に関する
と、考えて差し支えはないでしょう。
これは、角運動量ベクトルℓ＝ｒ×（ｍⅤ）の成分を上図のように行列式
を用いる方法で、求めればよいです。
その際、ｒとⅤは、ともに３次元ベクトルですが、Ｚ成分＝０として
行列式に代入すればよいです。
そこは、悩まず、機械的に処理すれば、解が、求まります。
原点に関する角運動量の値とＺ成分のみしか持ちえないこと
、が示されます。
これで、小問２まで、終わりました。
小問３は、質点に働く力が、保存力であること、を示せという問いです。
これに関しては、上図のように質点の位置ベクトルを２階微分し、
加速度ベクトルを求めて、ニュートンの運動方程式から、
質点に働いている力Ｆを求める方針で行きます。
この際、Ｆのベクトル表示を単振動の復元力の形まで変形しておくと、
のちの処理が、楽になります。
このようにしておくと、質点の受ける力が原点を通るので、
質点の原点に関する角運動量が、保存されるのは、
明らかですね。
力Ｆが保存力であることを示すためには、
rotＦ＝０
を示すのが、最も精密で、楽な方法です。
上図のとうり、力Ｆは、保存力であることが、示されます。
次の小問４は、下図のとうり、点Ａと点Ｂにおける
質点の運動エネルギーの差を求めよ、というものです。
これは、下図のように、質点の位置ベクトルｒを時刻ｔで微分したものが、
すでに、得られているので、それにＡ点、Ｂ点における時刻を代入して、
各々の点における速度が求まるので、運動エネルギーの差もたやすく
でてくるでしょう。
これで、小問４まで終わりました。
次の小問５は、楕円軌道を描いている質点の力学的エネルギー
を求めよ、というものです。
小問３において、この楕円軌道を描いている質点の受ける力は、保存力
であることが、示されていますので、力学的エネルギー保存則により、
楕円軌道上の１点における力学的エネルギーが求まれば、いいです。
Ｆ：保存力とＵ：ポテンシャルエネルギーの間には、
Ｆ＝－∇Ｕという超重要な関係が、存在するので、
Ｕ＝－∫Ｆdr から求められます。
保存力 Ｆ＝ｍ＊ω²ｒ
よりｒ＝０においてＦ＝０より、Ｕの基準点は、原点ｒ＝０に取ります。
Ａ点の力学的エネルギーＥaを求めていきます。
まず、Ａ点におけるポテンシャルエネルギーＵaは、
Ｕa＝－∫(x=0→x=a)(-mω²*x)dx=1/2*m*ω²*a² で与えられます。
Ａ点における質点の運動エネルギーkaは、
ka=1/2*m*Ⅴa²=1/2*m*(b²*ω²) で与えられます。
以上のことより、
Ｅa＝Ua+Ka=1/2*m*ω²*（a²+b²）というキレイな形の解になります。
詳細は、下図をご覧ください。
これで九州大学理学部物理学科平成２５年度
大問１‐Ⅱ（この投稿では、大問Ⅱとしています。）の解答が、すべて
終わりました。
機械的な処理により解き進められる問題より難しくは、ないのですが、
はたして、「これでよかったけ？」という不安が、出がちです。
受験生の中には、全問正解という場合も十分考えられるので、
できれば、そのようになるよう基礎事項の習得と応用を十分に、
しておくべきです。
さて、本問のように、２次元平面において２つの座標軸方向に、
単振動の復元力を受ける場合の質点の運動をリサージュといいます。
この場合の質点の描く軌道は、各座標軸方向の初期条件と、
質点の周期により異なってきます。
本問では、楕円軌道を描きましたが、楕円軌道の特徴として、
考察するに値する面白い性質が、あります。
それは、後日の投稿にまわします。
尚、本問は、サイエンス社基礎物理学演習Ⅰに、「楕円振動」、
もしくは、「リサージュ」として、取り上げられています。