今回は、京都工芸繊維大学平成28年度
数学の大問Ⅱ以降を取り上げます。
28年度数学の問題でこの大問Ⅱが,最も
イヤらしいかもしれません。
本問題が,すんなり解ける人は ,演習経験
が豊富で,1回解いたとのある人。
または,確固たる方針を知らなくても,基礎
事項に基づいたドロクサイ計算を時間が,
かかっても,不安にかられない精神力を
持ち,正確に計算を進めていける人でしょう
とはいえ,難しい問題ではありません。
まずは,分母を因数分解し、部分分数に
分けます。
次に部分分数に分けた各項の被積分関数
を分子の次数が分母の次数よりも小さい
形に変形します。
このときI1の第２項I2とおいています。
このI2をどう処理するか, が大問Ⅱの最大
のヤマバです。
①まずは,分母の関数の導関数が分子に
現れるよう｢なかば強制的に｣ 変形します.
1/ｆ(x)=ｇ'(x)/ｇ(x)+ｃ/ｈ(x)
の形を目指します。
ｃ:定数
ｇ'(x)/ｇ(x)の処理は,簡単ですね。
ｃ/ｈ(x)の処理は,ｈ(x)を平方完成し,
ｃ/(a^2+x^2)の形をくくりだします。
ここでx=a･tanθと置換して解いていきま
す。
工夫に工夫を重ねるような処理ですね。
答は、本当にややこしい形ですね。
後は、極限をとって終わりです。
大問Ⅲは,2変数関数の極値問題の典型的な
もので,これといって,ややこしいことは
ない,と思います。
28年度は,この大問Ⅲが,最も処理しやすい
かも。
大問Ⅳも簡単です。
ただ、微分方程式の解をいきなり,書いて
終わり,というのは,避けたいです。
同次微分方程式の特性方程式が,
複素数解を持つとき、微分方程式の
一般解は,sin,cosの線形結合で表される
ということを公式のように使うのではなく
それを導いていくような解答が,望ましい
でしょう。
①問題で与えられた微分方程式の特性方程
式の解は,複素数解となり,そこで得られた
基本解の線形結合をとり,一般解が得られ
る。
②exp(i√aｔ)をオイラーの式を用いて
sinとcosで表す。
③sinとcosの前の定数を１つの定数に
おきなおす。
その際,虚数単位iが存在する時は,それを
含めて,1つの定数におきなおす。
というように①②③を記述していき
ましょう 。
後は,下図のようにすれば,解が得られま
す。
数学の大問Ⅱ以降を取り上げます。
28年度数学の問題でこの大問Ⅱが,最も
イヤらしいかもしれません。
本問題が,すんなり解ける人は ,演習経験
が豊富で,1回解いたとのある人。
または,確固たる方針を知らなくても,基礎
事項に基づいたドロクサイ計算を時間が,
かかっても,不安にかられない精神力を
持ち,正確に計算を進めていける人でしょう
とはいえ,難しい問題ではありません。
まずは,分母を因数分解し、部分分数に
分けます。
次に部分分数に分けた各項の被積分関数
を分子の次数が分母の次数よりも小さい
形に変形します。
このときI1の第２項I2とおいています。
このI2をどう処理するか, が大問Ⅱの最大
のヤマバです。
①まずは,分母の関数の導関数が分子に
現れるよう｢なかば強制的に｣ 変形します.
1/ｆ(x)=ｇ'(x)/ｇ(x)+ｃ/ｈ(x)
の形を目指します。
ｃ:定数
ｇ'(x)/ｇ(x)の処理は,簡単ですね。
ｃ/ｈ(x)の処理は,ｈ(x)を平方完成し,
ｃ/(a^2+x^2)の形をくくりだします。
ここでx=a･tanθと置換して解いていきま
す。
工夫に工夫を重ねるような処理ですね。
答は、本当にややこしい形ですね。
後は、極限をとって終わりです。
大問Ⅲは,2変数関数の極値問題の典型的な
もので,これといって,ややこしいことは
ない,と思います。
28年度は,この大問Ⅲが,最も処理しやすい
かも。
大問Ⅳも簡単です。
ただ、微分方程式の解をいきなり,書いて
終わり,というのは,避けたいです。
同次微分方程式の特性方程式が,
複素数解を持つとき、微分方程式の
一般解は,sin,cosの線形結合で表される
ということを公式のように使うのではなく
それを導いていくような解答が,望ましい
でしょう。
①問題で与えられた微分方程式の特性方程
式の解は,複素数解となり,そこで得られた
基本解の線形結合をとり,一般解が得られ
る。
②exp(i√aｔ)をオイラーの式を用いて
sinとcosで表す。
③sinとcosの前の定数を１つの定数に
おきなおす。
その際,虚数単位iが存在する時は,それを
含めて,1つの定数におきなおす。
というように①②③を記述していき
ましょう 。
後は,下図のようにすれば,解が得られま
す。
