今回は,、神戸大学理学部物理学科編入
試験2014年7月4日実施の大問Ⅱをとりあげ
ます。
前半は,電気双極子の作る電位と電場を
求めよ,というものです。
求める点をP点とするとP点での電位φを
求めて、
E=－δφ/δｒ
で電場ベクトルを求める,という基本的な
出題ですが,結果を与えられたベクトルで
表すことが要求されており,これが,少々
ウットウシイですね。
近似も精密に考えると,どの時点で,使えば
よいのか？
近似の精度をテイラー展開まで考慮する
のか,それとも,最も平易な近似式である
(1+X)^ｎ≒1+ｎ*ｘ ※
の段階でよいのか、判断に迷いますね。
結論を先に言うと,※式の精度の近似で,
OKです。
テイラー展開ともなると,多変数なので、
煩雑さは,普通でなくなり、時間が
足りません。
私もそこで悩み、前回からの投稿から,
時間がかかりました。
まあ最も平易な精度の近似である※式を
利用すれば事足りる,ということでひと安心
ですが,解を与えられたベクトルで,表す
ところに難儀に感じますが,高校数学の
青チャート数B程度のレベルです。
こういうところで,高校数学の手法が要求
されるとは,趣向がなされていて、
おもしろいです。
次は,得られた静電ポテンシャルφ(ｒ)
から,E=－δφ/δｒ
を用いてP点における電場ベクトルEを
求めます。
ここで,
δｒ/δｘ=ｘ/ｒ②
δｒ^(－3)/δｘ=δｒ/δｘ*δｒ^(－3)/δｒ
=ｘ/ｒ*(－3*ｒ^(－4))
=－3*ｘ/ｒ^(－5) ③
②と③は,計算でよく使うので,覚えて
おいても,いいかもしれません。
さて,後半の問題である問3にはいります。
原点近傍にＮ個の点電荷が,存在するとき、
その全電荷をQとします。
つまり、
Q=Σｑｉ です。
問3では,Q≠0のとき
これは,原点近傍に1個の点電荷,もしくは
1個のイオンが存在する,とみなせる場合
です。
このとき、原点から十分遠い点Pの
静電ポテンシャルφは,下図のように
φ=1/(4*π*ε0)*Q ④
となり,これが,問3の解です。
次に,問4,Q≠0のとき。
分子でいえば,中性分子のとき,
φ=1(4*π*ε0)*ｒ^(－3)*Σｑｉ*(ｒ･ｄi)
⑤
で与えられます。これが問4の解です。
問3の解④式は,1個の点電荷もしくは,
イオンが,遠方に形成する静電ポテンシャル
問4の解⑤式は,中性分子が遠方に形成する
静電ポテンシャル
を各々表しています。
次に,式④⑤を同じ静電ポテンシャルφ
表す式の中に含ませると、
φ=1/(4*π*ε0)*Σｑｉ*ｒ^(－1)
+1/(4*π*ε0)*ｒ^(－3)* ( μ･ｒ)
=φ4+φ5
ここで
φ4:問3のケースQ=0 1個の点電荷もしくは
イオンの場合の遠方の静電ポテンシャル
φ5:問④のケースQ≠0中性分子の場合の
遠方の静電ポテンシャル
またQ=0の場合で、 出現しているμは,
電気双極子モーメントベクトルです。
μｘ=Σｑi*ｘｉ
μｙ=Σｑｉ*ｙi
μｚ=Σｑi*ｚi
μ=(μｘ,μｙ,μｚ)
で定義されるものです。
よって原点から十分遠方の点Pにおける
静電ポテンシャルは,φ5よりもφ4の
ほうが大きいので超遠方であれば、φ4の
静電ポテンシャルのみ感知することが
できます。
それから原点に近付くにつれφ5の
静電ポテンシャルを感じるようになる。
この問題の結論として,超遠方から原点を
見ると1個の点電荷が存在しているように
見える。
それから原点に近づくにつれ、
電気双極子、電気四重極子が次第に
見えてくる。
これが,結論❗
試験2014年7月4日実施の大問Ⅱをとりあげ
ます。
前半は,電気双極子の作る電位と電場を
求めよ,というものです。
求める点をP点とするとP点での電位φを
求めて、
E=－δφ/δｒ
で電場ベクトルを求める,という基本的な
出題ですが,結果を与えられたベクトルで
表すことが要求されており,これが,少々
ウットウシイですね。
近似も精密に考えると,どの時点で,使えば
よいのか？
近似の精度をテイラー展開まで考慮する
のか,それとも,最も平易な近似式である
(1+X)^ｎ≒1+ｎ*ｘ ※
の段階でよいのか、判断に迷いますね。
結論を先に言うと,※式の精度の近似で,
OKです。
テイラー展開ともなると,多変数なので、
煩雑さは,普通でなくなり、時間が
足りません。
私もそこで悩み、前回からの投稿から,
時間がかかりました。
まあ最も平易な精度の近似である※式を
利用すれば事足りる,ということでひと安心
ですが,解を与えられたベクトルで,表す
ところに難儀に感じますが,高校数学の
青チャート数B程度のレベルです。
こういうところで,高校数学の手法が要求
されるとは,趣向がなされていて、
おもしろいです。
次は,得られた静電ポテンシャルφ(ｒ)
から,E=－δφ/δｒ
を用いてP点における電場ベクトルEを
求めます。
ここで,
δｒ/δｘ=ｘ/ｒ②
δｒ^(－3)/δｘ=δｒ/δｘ*δｒ^(－3)/δｒ
=ｘ/ｒ*(－3*ｒ^(－4))
=－3*ｘ/ｒ^(－5) ③
②と③は,計算でよく使うので,覚えて
おいても,いいかもしれません。
さて,後半の問題である問3にはいります。
原点近傍にＮ個の点電荷が,存在するとき、
その全電荷をQとします。
つまり、
Q=Σｑｉ です。
問3では,Q≠0のとき
これは,原点近傍に1個の点電荷,もしくは
1個のイオンが存在する,とみなせる場合
です。
このとき、原点から十分遠い点Pの
静電ポテンシャルφは,下図のように
φ=1/(4*π*ε0)*Q ④
となり,これが,問3の解です。
次に,問4,Q≠0のとき。
分子でいえば,中性分子のとき,
φ=1(4*π*ε0)*ｒ^(－3)*Σｑｉ*(ｒ･ｄi)
⑤
で与えられます。これが問4の解です。
問3の解④式は,1個の点電荷もしくは,
イオンが,遠方に形成する静電ポテンシャル
問4の解⑤式は,中性分子が遠方に形成する
静電ポテンシャル
を各々表しています。
次に,式④⑤を同じ静電ポテンシャルφ
表す式の中に含ませると、
φ=1/(4*π*ε0)*Σｑｉ*ｒ^(－1)
+1/(4*π*ε0)*ｒ^(－3)* ( μ･ｒ)
=φ4+φ5
ここで
φ4:問3のケースQ=0 1個の点電荷もしくは
イオンの場合の遠方の静電ポテンシャル
φ5:問④のケースQ≠0中性分子の場合の
遠方の静電ポテンシャル
またQ=0の場合で、 出現しているμは,
電気双極子モーメントベクトルです。
μｘ=Σｑi*ｘｉ
μｙ=Σｑｉ*ｙi
μｚ=Σｑi*ｚi
μ=(μｘ,μｙ,μｚ)
で定義されるものです。
よって原点から十分遠方の点Pにおける
静電ポテンシャルは,φ5よりもφ4の
ほうが大きいので超遠方であれば、φ4の
静電ポテンシャルのみ感知することが
できます。
それから原点に近付くにつれφ5の
静電ポテンシャルを感じるようになる。
この問題の結論として,超遠方から原点を
見ると1個の点電荷が存在しているように
見える。
それから原点に近づくにつれ、
電気双極子、電気四重極子が次第に
見えてくる。
これが,結論❗
