今回は,神戸大学理学部物理学
科科2015年7月4日実施の大問Ⅱを取り上げ
ます ,。
ただ,大問Ⅱ全体に関する投稿をめざし
ましたが,結局大問Ⅱの小問1
電気映像法の正当性に関する出題と
小問②のみで終わりました。
電気映像法は,その正当性を把握する
のも重要だろうけれど,だって、現にここに
出題されているもんね。
どちらかというと,問題演習を中心に慣れて
いくほうが重要と思いますが。
そして出題者もいろんな事柄とからめ
やすいテーマのはずです。
さてそのテーマは.本問のように導体が,
存在し,その静電誘導により出現する数多く
の電子の効果を考慮する必要のあるとき
に,よく使われる特殊解法です。
電気映像法が利用できる導体も単純な形
のものに限られるので,電気映像法を利用
する問題は.編入では、本問のタイプに
限られる、と考えてよいと思います。
アポロニュウスの円が出てくるものまでは,
トライする必要は、ないでしょう。
さて小問1は ,電気映像法の利用の正当性を
問うています。
すなわち｢導体表面に無数に現れる電子の
導体の表面外部に対する影響
を+qの電荷の存在する位置Z=a の
導体表面(Z=0)に関する鏡の中の
像の位置Z=－aに－qの電荷を置き,(競映電
荷といいます)
それに代表させよう｣、という
事柄の正当性を問うています。
先ず,最も安直な考え方は,上図のごとく、
Z=aに存在している電荷 +qから放出される
電気力線は、Z=0 にある導体表面に現れた
電子に終わります。
このとき、「電気力線と導体表面とは直交
する 」ということに注意して,無数の電子
から,電気力線を導体内部(Z<=0)に延長して
いくと,すべての電気力線は,Z=－a の一点
で交わります。そこに競映電荷－q を
置きます。
導体をとりさり,始めからZ=aに+qそして
Z=－aにーqの二つの電荷が存在していたと
考えてみると,Z=0において電位は.0となり
Z=0に 導体が存在していた時の状態
を再現します。
以上のことより,電気映像法の正当性が
示された。
で、よいかと思います。
もう少し詳しく論じようとすれば,
静電場における静電ポテンシャルφ(r)
つまり、電位を規定する式として次の
ポアソンの方程式なるものが,存在します。
∇^2φ(r)
=(∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2+∂^2/∂z^2)φ
=－ρ(r)／ε0 ①
ρ(r): 電荷分布
φ(r):静電ポテンシャル
①式において,「電荷分布ρ(r)と境界条件
が,与えられると静電ポテンシャルφ(r)
は、ただ1つの関数のみに定まる」
逆に、｢電荷分布ρ(r) が,与えられている
場合,境界条件を満たすφ(r) を見つける｣と,
それが ,①式の解となります。
これが,電気映像法を利用の真髄です.
再びこの図に戻ります。
Z<=0には、導体が存在しています。
導体表面をZ=0としてZ軸を右側に取ります
そしてZ=aに+q の電荷を置きます。
この状態で,導体の外側での
静電ポテンシャルつまり電位と電場を
調べることを考えます。
導体表面には ,静電誘導により無数の電子
が,現れます。
それらの分布関数ρ（r）は、簡単には,
求まりません。
そこで ,電気映像法を利用して電位,電場を
求めよう,ということです。
導体表面には、無数の電子が現れます。
これは,上図のアの状態です。
ここで導体表面Z=0は,接地されている
ので,Z=0での電位は0◎
このこと重要.これがまさに,
境界条件！！
そして導体表面に現れた無数の電子の効果
をZ=－aに置く－qの競映電荷で
代用させます。
そして導体をとりさります。
この状態が上図のｲです。
Z<=0 には,導体が存在せず、真空です。
さて、図アと図ｲは,同じ状態を表す、
というのが,電気映像法です。
再び、ここで,そのことを再確認します。
先程は.電気力線をZ<=0つまり導体内部に
延長するとZ=－aの1点に収束することを
根拠にしましたが,ここでは.少し精密に,
静電場を規定するポアソンの式①を用いて
確認していきます。
まず,Z=－a に競映電荷－qを置きましたが
これは,Z<=0の領域のことであり導体の
外部における電荷分布ρ(r) は,
不変です。
次にz=aの+q ,z=－aの－qの2つの電荷が,
=0の任意の点p(x,y,z)に形成する電位φ
を求めると、
φ=q/(4πε0)*1/r1－q/(4πε0)*1/r2 ②
と表すことができます。
r1:Z=aとp点との距離
r2:Z=－aとp点との距離
ここでp点が,導体表面(Z=0)に存在した場合
②式は,
φ=0
となり上図のアの境界条件を満たします。
よって,静電ポテンシャルを規定する
ポアソンの方程式①は、
導体の外部では,アの場合とイの場合とは,
同じものになります。
故に,電気映像法を利用して求めた②式
のφは,アとイの両方で共通です。
編入試験の本番で,ここまで答えられたら,
満点です。
でも,あらためて読み返すと,今回の投稿
分かりにくいです。
電気映像法の正当性は.前半の電気力線の
導体内部への延長のイメージでの理解
でいいと思います。
問題演習で,電気映像法になれていきま
しょう。
科科2015年7月4日実施の大問Ⅱを取り上げ
ます ,。
ただ,大問Ⅱ全体に関する投稿をめざし
ましたが,結局大問Ⅱの小問1
電気映像法の正当性に関する出題と
小問②のみで終わりました。
電気映像法は,その正当性を把握する
のも重要だろうけれど,だって、現にここに
出題されているもんね。
どちらかというと,問題演習を中心に慣れて
いくほうが重要と思いますが。
そして出題者もいろんな事柄とからめ
やすいテーマのはずです。
さてそのテーマは.本問のように導体が,
存在し,その静電誘導により出現する数多く
の電子の効果を考慮する必要のあるとき
に,よく使われる特殊解法です。
電気映像法が利用できる導体も単純な形
のものに限られるので,電気映像法を利用
する問題は.編入では、本問のタイプに
限られる、と考えてよいと思います。
アポロニュウスの円が出てくるものまでは,
トライする必要は、ないでしょう。
さて小問1は ,電気映像法の利用の正当性を
問うています。
すなわち｢導体表面に無数に現れる電子の
導体の表面外部に対する影響
を+qの電荷の存在する位置Z=a の
導体表面(Z=0)に関する鏡の中の
像の位置Z=－aに－qの電荷を置き,(競映電
荷といいます)
それに代表させよう｣、という
事柄の正当性を問うています。
先ず,最も安直な考え方は,上図のごとく、
Z=aに存在している電荷 +qから放出される
電気力線は、Z=0 にある導体表面に現れた
電子に終わります。
このとき、「電気力線と導体表面とは直交
する 」ということに注意して,無数の電子
から,電気力線を導体内部(Z<=0)に延長して
いくと,すべての電気力線は,Z=－a の一点
で交わります。そこに競映電荷－q を
置きます。
導体をとりさり,始めからZ=aに+qそして
Z=－aにーqの二つの電荷が存在していたと
考えてみると,Z=0において電位は.0となり
Z=0に 導体が存在していた時の状態
を再現します。
以上のことより,電気映像法の正当性が
示された。
で、よいかと思います。
もう少し詳しく論じようとすれば,
静電場における静電ポテンシャルφ(r)
つまり、電位を規定する式として次の
ポアソンの方程式なるものが,存在します。
∇^2φ(r)
=(∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2+∂^2/∂z^2)φ
=－ρ(r)／ε0 ①
ρ(r): 電荷分布
φ(r):静電ポテンシャル
①式において,「電荷分布ρ(r)と境界条件
が,与えられると静電ポテンシャルφ(r)
は、ただ1つの関数のみに定まる」
逆に、｢電荷分布ρ(r) が,与えられている
場合,境界条件を満たすφ(r) を見つける｣と,
それが ,①式の解となります。
これが,電気映像法を利用の真髄です.
再びこの図に戻ります。
Z<=0には、導体が存在しています。
導体表面をZ=0としてZ軸を右側に取ります
そしてZ=aに+q の電荷を置きます。
この状態で,導体の外側での
静電ポテンシャルつまり電位と電場を
調べることを考えます。
導体表面には ,静電誘導により無数の電子
が,現れます。
それらの分布関数ρ（r）は、簡単には,
求まりません。
そこで ,電気映像法を利用して電位,電場を
求めよう,ということです。
導体表面には、無数の電子が現れます。
これは,上図のアの状態です。
ここで導体表面Z=0は,接地されている
ので,Z=0での電位は0◎
このこと重要.これがまさに,
境界条件！！
そして導体表面に現れた無数の電子の効果
をZ=－aに置く－qの競映電荷で
代用させます。
そして導体をとりさります。
この状態が上図のｲです。
Z<=0 には,導体が存在せず、真空です。
さて、図アと図ｲは,同じ状態を表す、
というのが,電気映像法です。
再び、ここで,そのことを再確認します。
先程は.電気力線をZ<=0つまり導体内部に
延長するとZ=－aの1点に収束することを
根拠にしましたが,ここでは.少し精密に,
静電場を規定するポアソンの式①を用いて
確認していきます。
まず,Z=－a に競映電荷－qを置きましたが
これは,Z<=0の領域のことであり導体の
外部における電荷分布ρ(r) は,
不変です。
次にz=aの+q ,z=－aの－qの2つの電荷が,
=0の任意の点p(x,y,z)に形成する電位φ
を求めると、
φ=q/(4πε0)*1/r1－q/(4πε0)*1/r2 ②
と表すことができます。
r1:Z=aとp点との距離
r2:Z=－aとp点との距離
ここでp点が,導体表面(Z=0)に存在した場合
②式は,
φ=0
となり上図のアの境界条件を満たします。
よって,静電ポテンシャルを規定する
ポアソンの方程式①は、
導体の外部では,アの場合とイの場合とは,
同じものになります。
故に,電気映像法を利用して求めた②式
のφは,アとイの両方で共通です。
編入試験の本番で,ここまで答えられたら,
満点です。
でも,あらためて読み返すと,今回の投稿
分かりにくいです。
電気映像法の正当性は.前半の電気力線の
導体内部への延長のイメージでの理解
でいいと思います。
問題演習で,電気映像法になれていきま
しょう。